Calcule a medida da altura de um tetraedro regular sabendo que o perímetro da base mede 9 cm.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a altura de um tetraedro regular, sabendo que o perímetro da base é 9 cm. Isso entra na matéria de geometria espacial, especificamente no estudo dos poliedros regulares. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular perímetro, propriedades de triângulos equiláteros e a fórmula para a altura de um tetraedro regular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a base do tetraedro. Um tetraedro regular tem uma base que é um triângulo equilátero, ou seja, todos os lados são iguais. O perímetro dessa base é a soma dos comprimentos dos três lados.
Sabemos que o perímetro da base é 9 cm. Então, cada lado do triângulo é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a altura do tetraedro. A altura de um tetraedro regular é a distância do vértice superior até a base. Para calcular isso, vamos usar a seguinte fórmula da altura $ h $ em um tetraedro regular com aresta de comprimento $ a $:
Passo 4
Como já encontramos que cada lado do triângulo é 3 cm, podemos substituir $ a = 3, cm $ na fórmula:
Passo 5
Simplificando a equação:
Resposta
A altura do tetraedro regular é $ \sqrt{6}, cm $.