Os termos de uma sequência são definidos recursivamente por :
a₁= 5aₙ= 2+ₐₙ₋₁ para todo n ∈ IN, n ≥ 2. Sendo assim, a soma dos n primeiros termos dessa sequência será dada pela expressão
(A) 7n – 2.
(B) 3,5n² – 3,5n + 5.
© n² – 17n + 60.
(D) n² + 4n.
(E) 2n + 3.
a₁= 5aₙ= 2+ₐₙ₋₁ para todo n ∈ IN, n ≥ 2. Sendo assim, a soma dos n primeiros termos dessa sequência será dada pela expressão
(A) 7n – 2.
(B) 3,5n² – 3,5n + 5.
© n² – 17n + 60.
(D) n² + 4n.
(E) 2n + 3.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos uma sequência onde:
- O primeiro termo é $ a_1 = 5 $.
- Cada termo seguinte é definido por $ a_n = 2 + a_{n-1} $ para todo $ n \geq 2 $.
Nosso objetivo é encontrar a soma dos $ n $ primeiros termos dessa sequência e identificar qual das alternativas fornecidas corresponde a essa soma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os termos dessa sequência se comportam. A relação $ a_n = 2 + a_{n-1} $ indica que cada termo é 2 unidades maior que o termo anterior. Isso caracteriza uma sequência aritmética, onde a diferença entre termos consecutivos é constante.
Passo 3
Em uma sequência aritmética, podemos encontrar o $ n $-ésimo termo usando a fórmula:
Onde:
- $ a_1 $ é o primeiro termo,
- $ d $ é a diferença comum entre os termos,
- $ n $ é a posição do termo na sequência.
No nosso caso:
- $ a_1 = 5 $,
- $ d = 2 $ (porque cada termo aumenta 2 em relação ao anterior).
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula do $ n $-ésimo termo:
Então, o $ n $-ésimo termo da sequência é $ a_n = 2n + 3 $.
Passo 5
Agora, queremos encontrar a soma dos $ n $ primeiros termos dessa sequência, que chamamos de $ S_n $. Para isso, usamos a fórmula da soma dos termos de uma sequência aritmética:
Já sabemos que:
- $ a_1 = 5 $,
- $ a_n = 2n + 3 $.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula da soma:
Resposta
A soma dos $ n $ primeiros termos da sequência é dada por $ S_n = n^2 + 4n $. Portanto, a alternativa correta é a (D) $ n² + 4n $.