Calcule a medida angular entre r e pi, onde:
a) r: X=(0,0,1)+alpha(-1,1,0) e pi: 3 x+4 y=0.
b) r: X=(1,0,0)+alpha(1,1,-2) e pi: x+y-z-1=0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a medida angular entre uma reta r e um plano pi. A gente vai precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente vetores diretores e vetores normais. Primeiro, vamos identificar esses vetores para cada caso e depois aplicar a fórmula que relaciona o ângulo entre eles.

Passo 2

Letra a)

Identificando os vetores

  • Reta r: A equação vetorial dada é X = (0,0,1) + alpha(-1,1,0).
    • Vetor diretor da reta ( u): (-1, 1, 0)
  • Plano pi: A equação geral é 3x + 4y = 0.
    • Vetor normal ao plano ( n): Os coeficientes de x, y, z na equação do plano formam o vetor normal. Aqui, como não há z, temos n = (3, 4, 0)

Calculando o ângulo

A fórmula para o ângulo theta entre a reta e o plano é:
sin(theta) = |u cdot n||u| cdot |n|
Vamos calcular cada parte:
  1. Produto escalar ( u cdot n):
(-1) times 3 + 1 times 4 + 0 times 0 = -3 + 4 + 0 = 1
  1. Norma dos vetores:
|u| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 = raiz2
|n| = raiz3^2 + 4^2 + 0^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
  1. Substituindo na fórmula:
sin(theta) = |1|raiz2 times 5 = 15raiz2 approx 0,1414
  1. Calculando o ângulo:
theta = arcsin(0,1414) approx 8,13^circ

Passo 3

Letra b)

Identificando os vetores

  • Reta r: A equação vetorial dada é X = (1,0,0) + alpha(1,1,-2).
    • Vetor diretor da reta ( u): (1, 1, -2)
  • Plano pi: A equação geral é x + y - z - 1 = 0.
    • Vetor normal ao plano ( n): (1, 1, -1)

Calculando o ângulo

Usamos a mesma fórmula:
sin(theta) = |u cdot n||u| cdot |n|
Vamos calcular:
  1. Produto escalar ( u cdot n):
1 times 1 + 1 times 1 + (-2) times (-1) = 1 + 1 + 2 = 4
  1. Norma dos vetores:
|u| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6
|n| = raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
  1. Substituindo na fórmula:
sin(theta) = 4raiz6 times raiz3 = 4raiz18 = 43raiz2 approx 0,9428
  1. Calculando o ângulo:
theta = arcsin(0,9428) approx 70,0^circ

Resposta

a) O ângulo entre a reta r e o plano pi é aproximadamente 8,13^circ.
b) O ângulo entre a reta r e o plano pi é aproximadamente 70,0^circ.

Exercícios relacionados

Obtenha os pontos da reta
r: X=(0,0,0)+alpha(1,1,1)
que equidistam das retas s e t, onde:
s: X=(1,0,0)+alpha(1,1,0) t: X=(0,0,1)+alpha(1,0,-1)
Obtenha os pontos da reta r que equidistam de A e B, onde:
a) r: X=(0,0,4)+alpha(4,2,-3), A=(2,2,5) e B=(0,0,1).
b) r: X=(2,3,-3)+alpha(1,1,1), A=(1,1,0) e B=(2,2,4).
Encontre os pontos da reta
r: X=(2,0,2)+alpha(-1,1,-2)
que distam raiz6 do plano pi: x-2 y-z-1=0.
Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
V=R^2,
Adição: (x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2),
Multiplicação por escalar: alpha odot(x1, x2)=(alpha x1, x2);