Calcule a medida angular entre
e
, onde:
a)
e
.
b)
e
.
a)
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a medida angular entre uma reta
e um plano
. A gente vai precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente vetores diretores e vetores normais. Primeiro, vamos identificar esses vetores para cada caso e depois aplicar a fórmula que relaciona o ângulo entre eles.
Passo 2
Letra a)
Identificando os vetores
- Reta
: A equação vetorial dada é . - Vetor diretor da reta (
):
- Vetor diretor da reta (
- Plano
: A equação geral é . - Vetor normal ao plano (
): Os coeficientes de , , na equação do plano formam o vetor normal. Aqui, como não há , temos
- Vetor normal ao plano (
Calculando o ângulo
A fórmula para o ângulo
entre a reta e o plano é:
Vamos calcular cada parte:
- Produto escalar (
):
- Norma dos vetores:
- Substituindo na fórmula:
- Calculando o ângulo:
Passo 3
Letra b)
Identificando os vetores
- Reta
: A equação vetorial dada é . - Vetor diretor da reta (
):
- Vetor diretor da reta (
- Plano
: A equação geral é . - Vetor normal ao plano (
):
- Vetor normal ao plano (
Calculando o ângulo
Usamos a mesma fórmula:
Vamos calcular:
- Produto escalar (
):
- Norma dos vetores:
- Substituindo na fórmula:
- Calculando o ângulo:
Resposta
a) O ângulo entre a reta
e o plano
é aproximadamente
.
b) O ângulo entre a reta
e o plano
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Obtenha os pontos da reta
que equidistam das retas
e
, onde:
Obtenha os pontos da reta
que equidistam de
e
, onde:
a) e
.
b) e
.
a)
b)
Encontre os pontos da reta
que distam
do plano
.
Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
,
Adição: ,
Multiplicação por escalar: ;
Adição:
Multiplicação por escalar: