Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
,
Adição:
,
Multiplicação por escalar:
;
Adição:
Multiplicação por escalar:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto
com as operações dadas de adição e multiplicação por escalar forma ou não um espaço vetorial real. Para isso, precisamos entender o que é um espaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer. Vamos precisar revisar as axiomas dos espaços vetoriais e aplicá-las ao nosso conjunto com as operações específicas.
Passo 2
Primeiro, um espaço vetorial sobre os números reais é um conjunto que, além de ter uma operação de adição, também permite a multiplicação por escalar (número real), e essas operações devem seguir certas regras chamadas axiomas. Vamos listar os principais axiomas que precisamos verificar:
- Fechamento da adição: A soma de dois vetores está no conjunto.
- Comutatividade da adição: A ordem da soma não altera o resultado.
- Associatividade da adição: A soma de três vetores pode ser agrupada de qualquer jeito.
- Existência do elemento neutro: Existe um vetor que, quando somado a qualquer outro, não muda este.
- Existência do elemento oposto: Para cada vetor, existe outro que soma com ele dá o elemento neutro.
- Fechamento da multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em um vetor no conjunto.
- Distributividade do escalar em relação à adição vetorial:
- Distributividade do escalar em relação à adição de escalares:
- Associatividade da multiplicação por escalar:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações que foram dadas.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento da adição
Se pegarmos dois vetores quaisquer em
, digamos
e
, a soma deles é
, que também está em
. Então, está fechado.
Axioma 2: Comutatividade da adição
Axioma 3: Associatividade da adição
Igual, então associativo.
Axioma 4: Existência do elemento neutro
O vetor
é o neutro, pois:
Axioma 5: Existência do elemento oposto
Para todo
, existe
tal que:
Axioma 6: Fechamento da multiplicação por escalar
Multiplicando
por
dá
. Esse vetor ainda está em
, então está fechado.
Axioma 7: Distributividade do escalar em relação à adição vetorial
Vamos verificar se
.
Esquerda:
Direita:
Parece igual, então satisfaz.
Axioma 8: Distributividade do escalar em relaç��o à adição de escalares
Verificamos se
.
Esquerda:
Direita:
Aqui vemos que a segunda componente na direita é
, enquanto na esquerda ��
. Eles não são iguais a menos que
. Portanto, não satisfaz esse axioma.
Resposta
Não,
com as operações definidas não é um espaço vetorial real, pois não satisfaz o axioma da distributividade do escalar em relação à adição de escalares.
Exercícios relacionados
Encontre os pontos da reta
que distam
do plano
.
Calcule a medida angular entre
e
, onde:
a) e
.
b) e
.
a)
b)
Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
,
Adição: ,
Multiplicação por escalar: ;
Adição:
Multiplicação por escalar:
Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
é o conjunto de todos os polinômios de grau 3, com adição e multiplicação por escalar usuais.