Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
V=R^2,
Adição: (x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2),
Multiplicação por escalar: alpha odot(x1, x2)=(alpha x1, x2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto com as operações dadas de adição e multiplicação por escalar forma ou não um espaço vetorial real. Para isso, precisamos entender o que é um espaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer. Vamos precisar revisar as axiomas dos espaços vetoriais e aplicá-las ao nosso conjunto com as operações específicas.

Passo 2

Primeiro, um espaço vetorial sobre os números reais é um conjunto que, além de ter uma operação de adição, também permite a multiplicação por escalar (número real), e essas operações devem seguir certas regras chamadas axiomas. Vamos listar os principais axiomas que precisamos verificar:
  1. Fechamento da adição: A soma de dois vetores está no conjunto.
  2. Comutatividade da adição: A ordem da soma não altera o resultado.
  3. Associatividade da adição: A soma de três vetores pode ser agrupada de qualquer jeito.
  4. Existência do elemento neutro: Existe um vetor que, quando somado a qualquer outro, não muda este.
  5. Existência do elemento oposto: Para cada vetor, existe outro que soma com ele dá o elemento neutro.
  6. Fechamento da multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em um vetor no conjunto.
  7. Distributividade do escalar em relação à adição vetorial:
  8. Distributividade do escalar em relação à adição de escalares:
  9. Associatividade da multiplicação por escalar:
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações que foram dadas.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento da adição
Se pegarmos dois vetores quaisquer em , digamos e , a soma deles é , que também está em . Então, está fechado.
Axioma 2: Comutatividade da adição
. Comutativo.
Axioma 3: Associatividade da adição
Igual, então associativo.
Axioma 4: Existência do elemento neutro
O vetor é o neutro, pois:
Axioma 5: Existência do elemento oposto
Para todo , existe tal que:
Axioma 6: Fechamento da multiplicação por escalar
Multiplicando por . Esse vetor ainda está em , então está fechado.
Axioma 7: Distributividade do escalar em relação à adição vetorial
Vamos verificar se .
Esquerda:
Direita:
Parece igual, então satisfaz.
Axioma 8: Distributividade do escalar em relaç��o à adição de escalares
Verificamos se .
Esquerda:
Direita:
Aqui vemos que a segunda componente na direita é , enquanto na esquerda �� . Eles não são iguais a menos que . Portanto, não satisfaz esse axioma.

Resposta

Não, com as operações definidas não é um espaço vetorial real, pois não satisfaz o axioma da distributividade do escalar em relação à adição de escalares.

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Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
V=R^2,
Adição: (x1, x2) oplus(y1, y2)=(x1, x2),
Multiplicação por escalar: alpha(x1, x2)=(alpha x1, alpha x2);
Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
V é o conjunto de todos os polinômios de grau 3, com adição e multiplicação por escalar usuais.