Obtenha os pontos da reta
r: X=(0,0,0)+alpha(1,1,1)
que equidistam das retas s e t, onde:
s: X=(1,0,0)+alpha(1,1,0) t: X=(0,0,1)+alpha(1,0,-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos da reta que estão equidistantes das retas e . Estamos trabalhando com geometria no espaço tridimensional e vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar qualquer ponto na reta P = (0,0,0) + alpha(1,1,1) = (alpha, alpha, alpha) . Qualquer ponto em pode ser escrito como:
Aqui, é um número real que determina a posição do ponto na reta.

Passo 3

Agora, queremos que esse ponto d = | (P - A) times v || v | seja equidistante das retas e . Para isso, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta no espaço. A distância de um ponto a uma reta definida por um ponto e um vetor diretor é dada por:
Vamos aplicar essa fórmula para calcular as distâncias de às retas e .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a distância de s: X = (1,0,0) + alpha(1,1,0) à reta P - As = (alpha - 1, alpha - 0, alpha - 0) = (alpha - 1, alpha, alpha) :
(alpha - 1, alpha, alpha) times (1,1,0) = (-alpha, -alpha, -1)
Aqui, | (-alpha, -alpha, -1) | = raiz(-alpha)^2 + (-alpha)^2 + (-1)^2 = raiz2alpha^2 + 1 e | (1,1,0) | = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2 .
Calculando ds = raiz2alpha^2 + 1raiz2 :
O produto vetorial é:
A norma desse vetor é:
A norma de é:
Então, a distância é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância de t: X = (0,0,1) + alpha(1,0,-1) à reta P - At = (alpha - 0, alpha - 0, alpha - 1) = (alpha, alpha, alpha - 1) :
(alpha, alpha, alpha - 1) times (1,0,-1) = (-alpha, 2alpha - 1, -alpha)
Aqui, | (-alpha, 2alpha - 1, -alpha) | = raiz(-alpha)^2 + (2alpha - 1)^2 + (-alpha)^2 = raiz6alpha^2 - 4alpha + 1 e | (1,0,-1) | = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz2 .
Calculando dt = raiz6alpha^2 - 4alpha + 1raiz2 :
O produto vetorial é:
A norma desse vetor é:
A norma de é:
Então, a distância é:

Passo 6

Para que raiz2alpha^2 + 1raiz2 = raiz6alpha^2 - 4alpha + 1raiz2 seja equidistante das retas raiz2alpha^2 + 1 = raiz6alpha^2 - 4alpha + 1 e 2alpha^2 + 1 = 6alpha^2 - 4alpha + 1 , precisamos que 2alpha^2 + 1 - 6alpha^2 + 4alpha - 1 = 0 -4alpha^2 + 4alpha = 0 4alpha(alpha - 1) = 0 . Assim, igualamos as duas expressões:
alpha = 0 ou alpha = 1
Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Simplificando a equação:
Portanto, as soluções para são:

Resposta

Os pontos na reta P1 = (0,0,0) e P2 = (1,1,1) que são equidistantes das retas e ocorrem para e . Assim, os pontos são:

Exercícios relacionados

Obtenha os pontos da reta r que equidistam de A e B, onde:
a) r: X=(0,0,4)+alpha(4,2,-3), A=(2,2,5) e B=(0,0,1).
b) r: X=(2,3,-3)+alpha(1,1,1), A=(1,1,0) e B=(2,2,4).
Prove que o conjunto das funções diferenciáveis definidas na reta é um espaço vetorial.
Calcule a medida angular entre r e pi, onde:
a) r: X=(0,0,1)+alpha(-1,1,0) e pi: 3 x+4 y=0.
b) r: X=(1,0,0)+alpha(1,1,-2) e pi: x+y-z-1=0.
Encontre os pontos da reta
r: X=(2,0,2)+alpha(-1,1,-2)
que distam raiz6 do plano pi: x-2 y-z-1=0.