Obtenha os pontos da reta
que equidistam das retas
e
, onde:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos da reta
que estão equidistantes das retas
e
. Estamos trabalhando com geometria no espaço tridimensional e vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar qualquer ponto na reta
. Qualquer ponto
em
pode ser escrito como:
Aqui,
é um número real que determina a posição do ponto na reta.
Passo 3
Agora, queremos que esse ponto
seja equidistante das retas
e
. Para isso, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta no espaço. A distância
de um ponto
a uma reta definida por um ponto
e um vetor diretor
é dada por:
Vamos aplicar essa fórmula para calcular as distâncias de
às retas
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a distância de
à reta
:
Aqui,
e
.
Calculando
:
O produto vetorial
é:
A norma desse vetor é:
A norma de
é:
Então, a distância
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância de
à reta
:
Aqui,
e
.
Calculando
:
O produto vetorial
é:
A norma desse vetor é:
A norma de
é:
Então, a distância
é:
Passo 6
Para que
seja equidistante das retas
e
, precisamos que
. Assim, igualamos as duas expressões:
Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Simplificando a equação:
Portanto, as soluções para
são:
Resposta
Os pontos na reta
que são equidistantes das retas
e
ocorrem para
e
. Assim, os pontos são:
Exercícios relacionados
Obtenha os pontos da reta
que equidistam de
e
, onde:
a) e
.
b) e
.
a)
b)
Prove que o conjunto das funções diferenciáveis definidas na reta é um espaço vetorial.
Calcule a medida angular entre
e
, onde:
a) e
.
b) e
.
a)
b)
Encontre os pontos da reta
que distam
do plano
.