Obtenha os pontos da reta
que equidistam de
e
, onde:
a)
e
.
b)
e
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos na reta
que estão equidistantes dos pontos
e
. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o conceito de distância entre pontos no espaço 3D e equidistância em relação a uma reta. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e parametrizar a reta
.
Passo 2
Vamos começar pela parte a) do exercício:
- Reta
: - Ponto
: - Ponto
:
Queremos encontrar os valores de
para os quais a distância de um ponto
na reta
até
e
são iguais, ou seja,
.
Passo 3
Vamos parametrizar a reta
. Um ponto qualquer
na reta
pode ser representado como:
Passo 4
Agora, vamos calcular as distâncias
e
usando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
Substituindo os valores:
Passo 5
Igualamos as duas distâncias:
Para simplificar, podemos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Vamos expandir os termos:
Simplificando:
Passo 7
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso implica que:
Passo 8
Agora, vamos para a parte b) do exercício:
- Reta
: - Ponto
: - Ponto
:
Novamente, queremos encontrar os valores de
para os quais a distância de um ponto
na reta
até
e
são iguais.
Passo 9
Parametrizando a reta
:
Passo 10
Calculando as distâncias
e
:
Simplificando:
Passo 11
Igualamos as duas distâncias:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 12
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 13
Subtraindo
de ambos os lados:
Resolvendo para
:
Resposta
Para a parte b), o ponto na reta
que está equidistante de
e
ocorre quando
. Substituindo na equação da reta:
Portanto,
é o ponto desejado.
Exercícios relacionados
Prove que o conjunto das funções diferenciáveis definidas na reta é um espaço vetorial.
Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos vetores de
tais que a soma das suas componentes se anula.
Obtenha os pontos da reta
que equidistam das retas
e
, onde:
Calcule a medida angular entre
e
, onde:
a) e
.
b) e
.
a)
b)