Obtenha os pontos da reta r que equidistam de A e B, onde:
a) r: X=(0,0,4)+alpha(4,2,-3), A=(2,2,5) e B=(0,0,1).
b) r: X=(2,3,-3)+alpha(1,1,1), A=(1,1,0) e B=(2,2,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos na reta que estão equidistantes dos pontos e . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o conceito de distância entre pontos no espaço 3D e equidistância em relação a uma reta. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e parametrizar a reta .

Passo 2

Vamos começar pela parte a) do exercício:
  • Reta :
  • Ponto :
  • Ponto :
Queremos encontrar os valores de para os quais a distância de um ponto na reta até e são iguais, ou seja, .

Passo 3

Vamos parametrizar a reta X(alpha) = (0 + 4alpha, 0 + 2alpha, 4 - 3alpha) = (4alpha, 2alpha, 4 - 3alpha) . Um ponto qualquer na reta pode ser representado como:

Passo 4

Agora, vamos calcular as distâncias |XA| = raiz(xA - x)^2 + (yA - y)^2 + (zA - z)^2 e |XB| = raiz(xB - x)^2 + (yB - y)^2 + (zB - z)^2 usando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
|XA| = raiz(2 - 4alpha)^2 + (2 - 2alpha)^2 + (5 - (4 - 3alpha))^2
|XB| = raiz(0 - 4alpha)^2 + (0 - 2alpha)^2 + (1 - (4 - 3alpha))^2
Substituindo os valores:

Passo 5

Igualamos as duas distâncias:
raiz(2 - 4alpha)^2 + (2 - 2alpha)^2 + (1 + 3alpha)^2 = raiz(4alpha)^2 + (2alpha)^2 + (-3 + 3alpha)^2
Para simplificar, podemos elevar ambos os lados ao quadrado:
(2 - 4alpha)^2 + (2 - 2alpha)^2 + (1 + 3alpha)^2 = (4alpha)^2 + (2alpha)^2 + (-3 + 3alpha)^2

Passo 6

Vamos expandir os termos:
(4alpha^2 - 16alpha + 4) + (4alpha^2 - 8alpha + 4) + (9alpha^2 + 6alpha + 1) = 16alpha^2 + 4alpha^2 + 9alpha^2 - 18alpha + 9
Simplificando:
17alpha^2 - 18alpha + 9 = 29alpha^2 - 18alpha + 9

Passo 7

Subtraindo 0 = 12alpha^2 de ambos os lados:
alpha = 0
Isso implica que:

Passo 8

Agora, vamos para a parte b) do exercício:
  • Reta :
  • Ponto :
  • Ponto :
Novamente, queremos encontrar os valores de para os quais a distância de um ponto na reta até e são iguais.

Passo 9

Parametrizando a reta X(alpha) = (2 + alpha, 3 + alpha, -3 + alpha) :

Passo 10

Calculando as distâncias |XA| = raiz(1 - (2 + alpha))^2 + (1 - (3 + alpha))^2 + (0 - (-3 + alpha))^2 e |XB| = raiz(2 - (2 + alpha))^2 + (2 - (3 + alpha))^2 + (4 - (-3 + alpha))^2 :
|XA| = raiz(-1 - alpha)^2 + (-2 - alpha)^2 + (3 - alpha)^2
|XB| = raiz(-alpha)^2 + (-1 - alpha)^2 + (7 - alpha)^2
Simplificando:

Passo 11

Igualamos as duas distâncias:
raiz(-1 - alpha)^2 + (-2 - alpha)^2 + (3 - alpha)^2 = raiz(alpha)^2 + (-1 - alpha)^2 + (7 - alpha)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(-1 - alpha)^2 + (-2 - alpha)^2 + (3 - alpha)^2 = alpha^2 + (-1 - alpha)^2 + (7 - alpha)^2

Passo 12

Expandindo os termos:
(1 + 2alpha + alpha^2) + (4 + 4alpha + alpha^2) + (9 - 6alpha + alpha^2) = alpha^2 + (1 + 2alpha + alpha^2) + (49 - 14alpha + alpha^2)
Simplificando:
14 + 0alpha + 3alpha^2 = 50 - 12alpha + 3alpha^2

Passo 13

Subtraindo 0 = 36 - 12alpha de ambos os lados:
12alpha = 36 Rightarrow alpha = 3
Resolvendo para :

Resposta

Para a parte b), o ponto na reta X = (2 + 3, 3 + 3, -3 + 3) = (5, 6, 0) que está equidistante de e ocorre quando . Substituindo na equação da reta:
Portanto, é o ponto desejado.

Exercícios relacionados

Prove que o conjunto das funções diferenciáveis definidas na reta é um espaço vetorial.
Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais. O conjunto dos vetores de R^n tais que a soma das suas componentes se anula.
Obtenha os pontos da reta
r: X=(0,0,0)+alpha(1,1,1)
que equidistam das retas s e t, onde:
s: X=(1,0,0)+alpha(1,1,0) t: X=(0,0,1)+alpha(1,0,-1)
Calcule a medida angular entre r e pi, onde:
a) r: X=(0,0,1)+alpha(-1,1,0) e pi: 3 x+4 y=0.
b) r: X=(1,0,0)+alpha(1,1,-2) e pi: x+y-z-1=0.