Calcule o módulo mu e o ângulo que o vetor momento de dipolo mu faz com o eixo x para a seguinte disposição de cargas no plano x y : uma carga 4 e em (0,0), outra -2 e em ( 162 pm, 0 ) e uma terceira -2 e que se localiza sobre uma reta fazendo um ângulo de 30^circ com o eixo x e distante 143 pm da origem, portanto localizada no 1^circ quadrante do sistema cartesiano de coordenadas. Aqui e corresponde a carga elementar e=1,6 times 10^-19 C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o módulo mu e o ângulo que o vetor momento de dipolo mu faz com o eixo x. Estamos lidando com um sistema de três cargas elétricas no plano xy. Para isso, vamos precisar entender o que é momento de dipolo e como somar vetores. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o momento de dipolo. O momento de dipolo elétrico mu para um sistema de cargas pontuais é dado por:
mu = sumi qi ri
Onde qi é a carga e ri é o vetor posição da carga em relação à origem.
No nosso caso, temos três cargas:
  1. Uma carga +4e na origem (0,0).
  2. Uma carga -2e em (162 , pm, 0).
  3. Uma carga -2e em uma posição que faz 30^circ com o eixo x e está a 143 , pm da origem.
Vamos calcular o momento de dipolo para cada uma dessas cargas.

Passo 3

Primeiro, a carga +4e está na origem (0,0). Calculando seu momento de dipolo:
mu1 = q1 r1 = 4e cdot (0, 0) = (0, 0)
Ou seja, essa carga não contribui para o momento de dipolo porque está na origem.

Passo 4

Agora, vamos para a carga -2e em (162 , pm, 0). O vetor posição r2 é (162, 0) pm. Calculando o momento de dipolo:
mu2 = q2 r2 = -2e cdot (162, 0) = (-324e, 0)

Passo 5

Por último, a carga -2e está localizada a 143 , pm da origem, fazendo um ângulo de 30^circ com o eixo x. Vamos decompor esse vetor posição em componentes x e y:
x = 143 cos30^circ y = 143 sin30^circ
Calculando:
cos30^circ = raiz32 approx 0,866 sin30^circ = 12 = 0,5 x approx 143 times 0,866 approx 123,7 , pm y approx 143 times 0,5 = 71,5 , pm
Então, o vetor posição r3 é aproximadamente (123,7, 71,5) pm. Calculando o momento de dipolo:
mu3 = q3 r3 = -2e cdot (123,7, 71,5) = (-247,4e, -143e)

Passo 6

Agora, vamos somar os momentos de dipolo das três cargas para obter o momento de dipolo total mu:
mu = mu1 + mu2 + mu3 = (0, 0) + (-324e, 0) + (-247,4e, -143e) = (-571,4e, -143e)

Passo 7

Para encontrar o módulo mu do momento de dipolo, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
mu = raiz(-571,4e)^2 + (-143e)^2
Calculando:
mu = raiz(571,4)^2 + (143)^2 cdot e mu = raiz326,574 + 20,449 cdot e mu = raiz347,023 cdot e approx 588,2 cdot e

Passo 8

Agora, vamos encontrar o ângulo theta que o vetor momento de dipolo faz com o eixo x. Usamos a função tangente:
tantheta = muymux = -143e-571,4e = 143571,4
Calculando:
tantheta approx 0,25 theta = tan^-1(0,25) approx 14,0^circ
Como ambos mux e muy são negativos, o vetor está no terceiro quadrante, então o ângulo com o eixo x é 180^circ - 14,0^circ = 166,0^circ.

Resposta

O módulo do vetor momento de dipolo é aproximadamente 588,2 cdot e C·pm, e o ângulo que ele faz com o eixo x é de 166,0^circ.

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