O valor do campo elétrico a uma distância
de uma carga puntiforme
é igual a
. Qual a proximidade que um próton pode alcançar de uma molécula de água (com polarizabilidade volumar
) antes que o momento de dipolo induzido pelo próton tenha um valor igual ao momento de dipolo permanente da molécula (
).
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um próton que se aproxima de uma molécula de água. Queremos descobrir a distância mínima
que esse próton pode chegar da molécula antes que o momento de dipolo que ele induz na molécula seja igual ao momento de dipolo permanente da própria molécula de água. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e polarizabilidade volumar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é momento de dipolo induzido. Quando uma carga elétrica, como um próton, se aproxima de uma molécula neutra, ela pode causar uma separação de cargas dentro da molécula, criando um dipolo. A relação entre o momento de dipolo induzido (
), a polarizabilidade volumar (
) e o campo elétrico (
) é dada por:
Aqui,
representa quão facilmente a molécula pode ser polarizada por um campo elétrico externo.
Passo 3
Agora, precisamos saber qual é o campo elétrico
gerado pelo próton a uma distância
. A fórmula para o campo elétrico produzido por uma carga puntiforme
é:
Onde:
-
é a carga do próton ( ), -
é a permissividade do vácuo ( ), -
é a distância entre o próton e a molécula de água.
Passo 4
Queremos que o momento de dipolo induzido pelo próton seja igual ao momento de dipolo permanente da molécula de água (
). Então, igualamos as duas expressões:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 5
Nosso objetivo é encontrar
. Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Passo 6
Antes de calcular, precisamos garantir que todas as unidades estão compatíveis. O momento de dipolo permanente está em Debye (D), então vamos converter para Coulomb-metro (C·m):
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos substituir todos os valores na fórmula de
:
Fazendo os cálculos:
- Calculando o numerador:
- Calculando o denominador:
- Dividindo os dois:
- Tirando a raiz quadrada:
Convertendo para nanômetros (
):
Resposta
A proximidade máxima que o próton pode alcançar da molécula de água antes que o momento de dipolo induzido iguale o momento de dipolo permanente é aproximadamente
(ou 18,6 micrômetros).