O valor do campo elétrico a uma distância r de uma carga puntiforme Q é igual a Q / 4 pi epsilon0 r^2. Qual a proximidade que um próton pode alcançar de uma molécula de água (com polarizabilidade volumar 1,48 times 10^-30 m^3 ) antes que o momento de dipolo induzido pelo próton tenha um valor igual ao momento de dipolo permanente da molécula ( 1,85 D ).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um próton que se aproxima de uma molécula de água. Queremos descobrir a distância mínima que esse próton pode chegar da molécula antes que o momento de dipolo que ele induz na molécula seja igual ao momento de dipolo permanente da própria molécula de água. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e polarizabilidade volumar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é momento de dipolo induzido. Quando uma carga elétrica, como um próton, se aproxima de uma molécula neutra, ela pode causar uma separação de cargas dentro da molécula, criando um dipolo. A relação entre o momento de dipolo induzido ( pind = alpha times E ), a polarizabilidade volumar ( ) e o campo elétrico ( ) é dada por:
Aqui, representa quão facilmente a molécula pode ser polarizada por um campo elétrico externo.

Passo 3

Agora, precisamos saber qual é o campo elétrico E = Q4 pi epsilon0 r^2 gerado pelo próton a uma distância . A fórmula para o campo elétrico produzido por uma carga puntiforme é:
Onde:
  • é a carga do próton ( ),
  • é a permissividade do vácuo ( ),
  • é a distância entre o próton e a molécula de água.

Passo 4

Queremos que o momento de dipolo induzido pelo próton seja igual ao momento de dipolo permanente da molécula de água ( alpha times E = ppermanente ). Então, igualamos as duas expressões:
alpha times Q4 pi epsilon0 r^2 = ppermanente
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar r = raiz Q times alpha4 pi epsilon0 times ppermanente . Vamos reorganizar a equação para isolar :

Passo 6

Antes de calcular, precisamos garantir que todas as unidades estão compatíveis. O momento de dipolo permanente está em Debye (D), então vamos converter para Coulomb-metro (C·m):
1 , D = 3,33564 times 10^-30 , Ccdotm
Portanto:
ppermanente = 1,85 times 3,33564 times 10^-30 , Ccdotm
ppermanente approx 6,170 times 10^-30 , Ccdotm

Passo 7

Agora, vamos substituir todos os valores na fórmula de r = raiz (1,602 times 10^-19 , C) times (1,48 times 10^-30 , m^3)4 pi times 8,85 times 10^-12 , C^2/Ncdotm^2 times 6,170 times 10^-30 , Ccdotm :
1,602 times 10^-19 times 1,48 times 10^-30 = 2,37296 times 10^-49
Fazendo os cálculos:
  1. Calculando o numerador:
4 pi times 8,85 times 10^-12 times 6,170 times 10^-30 approx 6,8512 times 10^-40
  1. Calculando o denominador:
2,37296 times 10^-496,8512 times 10^-40 approx 3,464 times 10^-10
  1. Dividindo os dois:
r = raiz3,464 times 10^-10 approx 1,86 times 10^-5 , m
  1. Tirando a raiz quadrada:
r approx 1,86 times 10^-5 , m = 1,86 times 10^4 , nm
Convertendo para nanômetros ( ):

Resposta

A proximidade máxima que o próton pode alcançar da molécula de água antes que o momento de dipolo induzido iguale o momento de dipolo permanente é aproximadamente (ou 18,6 micrômetros).

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