Calcule o módulo da velocidade da caixa quando ela estiver em uma altura igual a h / 2.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para calcular o módulo da velocidade de uma caixa quando ela estiver em uma altura igual a . Isso envolve conceitos de cinemática e energia. Para resolver, vamos usar a Lei da Conservação da Energia, que nos ajuda a relacionar a energia potencial e a energia cinética da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional ( Ep = m cdot g cdot h ) de um objeto é dada pela fórmula:
Ek = 12 m v^2
onde:
  • é a massa da caixa,
  • é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente ),
  • é a altura.
Quando a caixa está descendo, a energia potencial se transforma em energia cinética ( ), que é dada por:
onde:
  • é a velocidade da caixa.

Passo 3

Segundo a Lei da Conservação da Energia, a energia total permanece constante se não houver perdas (como atrito). Então, a energia potencial inicial ( Epi = Epf + Ekf ) é igual à soma da energia potencial final ( ) e da energia cinética final ( ):

Passo 4

Vamos aplicar isso ao nosso caso. Supondo que a caixa começa do repouso na altura Epi = m cdot g cdot h :
Epf = m cdot g cdot h2
Ekf = 12 m v^2
m cdot g cdot h = m cdot g cdot h2 + 12 m v^2
Substituindo na equação da conservação da energia:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação. Primeiro, podemos dividir todos os termos por g cdot h = g cdot h2 + 12 v^2 (já que g cdot h - g cdot h2 = 12 v^2 ):
g cdot h2 = 12 v^2
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
2 cdot g cdot h2 = v^2
Simplificando:
g cdot h = v^2

Passo 7

Finalmente, para encontrar v = raizg cdot h , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

O módulo da velocidade da caixa quando ela estiver em uma altura igual a v = raizg cdot h é:

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