Calcule o módulo da velocidade da caixa quando ela estiver em uma altura igual a .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para calcular o módulo da velocidade de uma caixa quando ela estiver em uma altura igual a . Isso envolve conceitos de cinemática e energia. Para resolver, vamos usar a Lei da Conservação da Energia, que nos ajuda a relacionar a energia potencial e a energia cinética da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional ( ) de um objeto é dada pela fórmula:
onde:
  • é a massa da caixa,
  • é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente ),
  • é a altura.
Quando a caixa está descendo, a energia potencial se transforma em energia cinética ( ), que é dada por:
onde:
  • é a velocidade da caixa.

Passo 3

Segundo a Lei da Conservação da Energia, a energia total permanece constante se não houver perdas (como atrito). Então, a energia potencial inicial ( ) é igual à soma da energia potencial final ( ) e da energia cinética final ( ):

Passo 4

Vamos aplicar isso ao nosso caso. Supondo que a caixa começa do repouso na altura :
Substituindo na equação da conservação da energia:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação. Primeiro, podemos dividir todos os termos por (já que ):
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

O módulo da velocidade da caixa quando ela estiver em uma altura igual a é:

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