Um disco com ranhura gira ao redor de O em um plano vertical com velocidade angular constante e pela ranhura se desliza sem atrito uma corredeira de peso mg. Considerando que parte do repouso em quando a ranhura passa pela posição , as equações de movimento estão dadas por:
Resolver as equações de movimento com as condições iniciais do enunciado e fornecer N e r em função de .
Resp:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um disco que gira com velocidade angular constante e tem uma ranhura por onde uma corredeira de peso desliza sem atrito. Nosso objetivo é resolver as equações de movimento dadas e encontrar as expressões de (a força normal) e (a posição radial) em função do ângulo . Para isso, vamos precisar entender um pouco de dinâmica rotacional e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações de movimento fornecidas:
Aqui, é a segunda derivada de em relação ao tempo (aceleração radial), e é a primeira derivada de (velocidade radial).

Passo 3

Vamos simplificar as equações dividindo ambos os lados por :
Nosso foco principal será resolver a equação (1) para encontrar em função de .

Passo 4

A equação (1) é uma equação diferencial que relaciona e . Para resolver, precisamos expressar as derivadas de em termos de . Sabemos que está relacionado ao tempo pela velocidade angular , ou seja, .
Dessa forma, podemos usar a regra da cadeia para as derivadas:

Passo 5

Substituindo essas expressões na equação (1):
Podemos reorganizar:

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular.
A equação homogênea é:
Sua solução geral é:
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa. Como o termo não homogêneo é , tentamos uma solução na forma:
Derivando:
Igualando à equação original:
Então, a solução particular é:

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes e .

Passo 9

As condições iniciais são que o sistema parte do repouso em quando .
Aplicando :
Agora, aplicamos a condição para a velocidade inicial. Já que o sistema parte do repouso, temos .
Calculando :
Em :

Passo 10

Substituindo e na solução geral:

Passo 11

Agora, vamos encontrar a força normal . Vamos usar a segunda equação de movimento simplificada:
Rearranjando para :
Utilizando a expressão de que já derivamos:
Substituindo na expressão de :

Resposta

Exercícios relacionados

Se abandonam livremente em A partindo do repouso pequenos objetos que caem deslizando sobre uma superfície circular lisa de radio até uma faixa transportadora B. Determinar em função de a expressão da força normal de contacto N que se exerce entre a guia e cada objeto. Determine a velocidade angular da polia de raio da faixa transportadora para evitar qualquer queda dos objetos ao ser transferidos.
Resp:

Calcule o módulo da velocidade da caixa quando ela estiver em uma altura igual a .
Determine o modulo do momento angular da Terra devido ao seu movimento orbital em torno do Sol. O raio orbital da Terra é metros e sua massa é . Lembre que a terra gira em torno do Sol em aproximadamente 365 dias.
Para um movimento de força central onde , mostre que o vetor
é constante de movimento, onde e .