Um disco com ranhura gira ao redor de O em um plano vertical com velocidade angular constante omega e pela ranhura se desliza sem atrito uma corredeira de peso mg. Considerando que parte do repouso em r=0 quando a ranhura passa pela posição theta=0^0, as equações de movimento estão dadas por:
& m g sen theta=m(ddotr-r omega^2) & m g cos theta-N=m(2 dotr omega)
Resolver as equações de movimento com as condições iniciais do enunciado e fornecer N e r em função de theta.
Resp: ^r=g2 omega^2(sh theta-sen theta)
N=mg(2 cos theta-ch theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um disco que gira com velocidade angular constante omega e tem uma ranhura por onde uma corredeira de peso mg desliza sem atrito. Nosso objetivo é resolver as equações de movimento dadas e encontrar as expressões de N (a força normal) e r (a posição radial) em função do ângulo theta. Para isso, vamos precisar entender um pouco de dinâmica rotacional e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações de movimento fornecidas:
& m g sin theta = m(ddotr - r omega^2) & m g cos theta - N = m(2 dotr omega)
Aqui, ddotr é a segunda derivada de r em relação ao tempo (aceleração radial), e dotr é a primeira derivada de r (velocidade radial).

Passo 3

Vamos simplificar as equações dividindo ambos os lados por m:
& g sin theta = ddotr - r omega^2 (1) & g cos theta - Nm = 2 dotr omega (2)
Nosso foco principal será resolver a equação (1) para encontrar r em função de theta.

Passo 4

A equação (1) é uma equação diferencial que relaciona r e theta. Para resolver, precisamos expressar as derivadas de r em termos de theta. Sabemos que theta está relacionado ao tempo t pela velocidade angular omega, ou seja, theta = omega t.
Dessa forma, podemos usar a regra da cadeia para as derivadas:
dotr = drdt = drdtheta cdot dthetadt = omega drdtheta
ddotr = d^2rdt^2 = omega ddt(drdtheta) = omega^2 d^2rdtheta^2

Passo 5

Substituindo essas expressões na equação (1):
g sin theta = omega^2 d^2rdtheta^2 - r omega^2
Podemos reorganizar:
d^2rdtheta^2 - r = gomega^2 sin theta

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular.
A equação homogênea é:
d^2rdtheta^2 - r = 0
Sua solução geral é:
rh = A cosh theta + B sinh theta
Onde A e B são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa. Como o termo não homogêneo é gomega^2 sin theta, tentamos uma solução na forma:
rp = C sin theta
Derivando:
d^2rpdtheta^2 - rp = -C sin theta - C sin theta = -2C sin theta
Igualando à equação original:
-2C sin theta = gomega^2 sin theta Rightarrow C = -g2 omega^2
Então, a solução particular é:
rp = -g2 omega^2 sin theta

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
r = A cosh theta + B sinh theta - g2 omega^2 sin theta
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes A e B.

Passo 9

As condições iniciais são que o sistema parte do repouso em r = 0 quando theta = 0.
Aplicando r(0) = 0:
0 = A cosh 0 + B sinh 0 - g2 omega^2 sin 0 0 = A cdot 1 + B cdot 0 - 0 A = 0
Agora, aplicamos a condição para a velocidade inicial. Já que o sistema parte do repouso, temos dotr(0) = 0.
Calculando drdtheta:
drdtheta = A sinh theta + B cosh theta - g2 omega^2 cos theta
Em theta = 0:
0 = A sinh 0 + B cosh 0 - g2 omega^2 cos 0 0 = 0 + B cdot 1 - g2 omega^2 cdot 1 B = g2 omega^2

Passo 10

Substituindo A e B na solução geral:
r = 0 cdot cosh theta + g2 omega^2 sinh theta - g2 omega^2 sin theta r = g2 omega^2 (sinh theta - sin theta )

Passo 11

Agora, vamos encontrar a força normal N. Vamos usar a segunda equação de movimento simplificada:
g cos theta - Nm = 2 dotr omega
Rearranjando para N:
N = m ( g cos theta - 2 dotr omega )
Utilizando a expressão de dotr que já derivamos:
dotr = omega drdtheta = omega ( g2 omega^2 cosh theta - g2 omega^2 cos theta ) = g2 omega (cosh theta - cos theta )
Substituindo na expressão de N:
N = m ( g cos theta - 2 cdot g2 omega (cosh theta - cos theta ) omega ) N = m ( g cos theta - g (cosh theta - cos theta ) ) N = m g (2 cos theta - cosh theta )

Resposta

r = g2 omega^2 (sinh theta - sin theta )
N = mg (2 cos theta - cosh theta )

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