Um disco com ranhura gira ao redor de O em um plano vertical com velocidade angular constante
e pela ranhura se desliza sem atrito uma corredeira de peso mg. Considerando que parte do repouso em
quando a ranhura passa pela posição
, as equações de movimento estão dadas por:
Resolver as equações de movimento com as condições iniciais do enunciado e fornecer N e r em função de
.
Resp:
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um disco que gira com velocidade angular constante
e tem uma ranhura por onde uma corredeira de peso
desliza sem atrito. Nosso objetivo é resolver as equações de movimento dadas e encontrar as expressões de
(a força normal) e
(a posição radial) em função do ângulo
. Para isso, vamos precisar entender um pouco de dinâmica rotacional e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as equações de movimento fornecidas:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação ao tempo (aceleração radial), e
é a primeira derivada de
(velocidade radial).
Passo 3
Vamos simplificar as equações dividindo ambos os lados por
:
Nosso foco principal será resolver a equação (1) para encontrar
em função de
.
Passo 4
A equação (1) é uma equação diferencial que relaciona
e
. Para resolver, precisamos expressar as derivadas de
em termos de
. Sabemos que
está relacionado ao tempo
pela velocidade angular
, ou seja,
.
Dessa forma, podemos usar a regra da cadeia para as derivadas:
Passo 5
Substituindo essas expressões na equação (1):
Podemos reorganizar:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular.
A equação homogênea é:
Sua solução geral é:
Onde
e
são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa. Como o termo não homogêneo é
, tentamos uma solução na forma:
Derivando:
Igualando à equação original:
Então, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes
e
.
Passo 9
As condições iniciais são que o sistema parte do repouso em
quando
.
Aplicando
:
Agora, aplicamos a condição para a velocidade inicial. Já que o sistema parte do repouso, temos
.
Calculando
:
Em
:
Passo 10
Substituindo
e
na solução geral:
Passo 11
Agora, vamos encontrar a força normal
. Vamos usar a segunda equação de movimento simplificada:
Rearranjando para
:
Utilizando a expressão de
que já derivamos:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
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e
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