Uma pedra de amolar gira com uma aceleração angular constante 0,35 rad / s^2. No instante t=0, ela possui uma velocidade angular -4,6 rad / s, e uma linha de referência sobre ela está na horizontal, na posição angular 0 .
Em que instante de tempo a linha de referência estará na posição angular 10 pi rad ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma pedra de amolar que está girando com uma aceleração angular constante de 0,35 , rad/s²². No começo, ou seja, no instante t=0, ela já está girando com uma velocidade angular de -4,6 , rad/s, e uma linha de referência está na horizontal, na posição angular 0. O que precisamos descobrir é: em que momento de tempo essa linha de referência vai chegar à posição angular de 10pi , rad?
Nesse exercício, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, que é a parte da física que estuda o movimento de rotação. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam a posição angular, a velocidade angular e a aceleração angular com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que descreve a posição angular ( theta) em função do tempo quando a aceleração angular ( alpha) é constante:
theta = theta0 + omega0 t + 12 alpha t^2
Aqui:
  • theta é a posição angular final,
  • theta0 é a posição angular inicial,
  • omega0 é a velocidade angular inicial,
  • alpha é a aceleração angular,
  • t é o tempo.
No nosso caso, sabemos que no instante inicial ( t=0), a posição angular theta0 = 0, a velocidade angular inicial omega0 = -4,6 , rad/s, e a aceleração angular alpha = 0,35 , rad/s²². Queremos que a posição angular seja theta = 10pi , rad.
Substituindo esses valores na fórmula:
10pi = 0 + (-4,6) t + 12 times 0,35 times t^2
Simplificando:
10pi = -4,6 t + 0,175 t^2

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática padrão:
0,175 t^2 - 4,6 t - 10pi = 0
Para facilitar os cálculos, podemos multiplicar todos os termos por 1000 para eliminar as casas decimais:
175 t^2 - 4600 t - 10000pi = 0
Mas, para simplificar, vamos resolver usando a forma original:
0,175 t^2 - 4,6 t - 10pi = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as soluções para t:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • a = 0,175
  • b = -4,6
  • c = -10pi
Substituindo esses valores:
t = -(-4,6) pm raiz(-4,6)^2 - 4 times 0,175 times (-10pi)2 times 0,175
Calculando passo a passo:
  1. Calcular b^2:
(-4,6)^2 = 21,16
  1. Calcular 4ac:
4 times 0,175 times (-10pi) = -7pi approx -21,99
  1. Calcular b^2 - 4ac:
21,16 - (-21,99) = 21,16 + 21,99 = 43,15
  1. Calcular a raiz quadrada:
raiz43,15 approx 6,57
  1. Calcular o numerador com a opção positiva (porque tempo não pode ser negativo):
4,6 + 6,57 = 11,17
  1. Dividir pelo denominador:
2 times 0,175 = 0,35
Finalmente:
t = 11,170,35 approx 31,91 , segundos

Resposta

A linha de referência estará na posição angular de 10pi , rad após aproximadamente 31,91 segundos.

Exercícios relacionados