Uma pedra de amolar gira com uma aceleração angular constante
. No instante
, ela possui uma velocidade angular
, e uma linha de referência sobre ela está na horizontal, na posição angular 0 .
Em que instante de tempo a linha de referência estará na posição angular
?
Em que instante de tempo a linha de referência estará na posição angular
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma pedra de amolar que está girando com uma aceleração angular constante de
. No começo, ou seja, no instante
, ela já está girando com uma velocidade angular de
, e uma linha de referência está na horizontal, na posição angular
. O que precisamos descobrir é: em que momento de tempo essa linha de referência vai chegar à posição angular de
?
Nesse exercício, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, que é a parte da física que estuda o movimento de rotação. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam a posição angular, a velocidade angular e a aceleração angular com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que descreve a posição angular (
) em função do tempo quando a aceleração angular (
) é constante:
Aqui:
-
é a posição angular final, -
é a posição angular inicial, -
é a velocidade angular inicial, -
é a aceleração angular, -
é o tempo.
No nosso caso, sabemos que no instante inicial (
), a posição angular
, a velocidade angular inicial
, e a aceleração angular
. Queremos que a posição angular seja
.
Substituindo esses valores na fórmula:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática padrão:
Para facilitar os cálculos, podemos multiplicar todos os termos por 1000 para eliminar as casas decimais:
Mas, para simplificar, vamos resolver usando a forma original:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as soluções para
:
Onde:
Substituindo esses valores:
Calculando passo a passo:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular a raiz quadrada:
- Calcular o numerador com a opção positiva (porque tempo não pode ser negativo):
- Dividir pelo denominador:
Finalmente:
Resposta
A linha de referência estará na posição angular de
após aproximadamente
segundos.