Calcule o momento de inércia de uma régua de um metro, com uma massa de 0,56 kg, em relação a um eixo perpendicular à régua na marca de 20 cm. (Trate a régua como uma barra fina.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o momento de inércia de uma régua de 1 metro, com massa de 0,56 kg, em relação a um eixo perpendicular na marca de 20 cm. Para isso, vamos usar conceitos de momentos de inércia e o Teorema de Eixo Paralelo.

Passo 2

Primeiro, é bom lembrar que o momento de inércia ($ I $) de uma barra fina de comprimento $ L $ e massa $ m $ em relação ao seu centro de massa é dado pela fórmula:
I
Nesse caso, nossa régua tem $ L = 1 $ metro e $ m = 0,56 $ kg.

Passo 3

Mas atenção! O eixo que a gente quer considerar não está no centro da régua, mas sim a 20 cm de uma das extremidades. Para calcular o momento de inércia em relação a esse novo eixo, vamos usar o Teorema de Eixo Paralelo, que diz:
I = Icentro + m d^2
Onde:
  • $ I $ é o momento de inércia em relação ao novo eixo.
  • $ I_{centro} $ é o momento de inércia em relação ao centro de massa.
  • $ d $ é a distância entre o centro de massa e o novo eixo.

Passo 4

Vamos calcular a distância $ d $. Como a régua tem 1 metro de comprimento, o centro de massa está a 50 cm de cada extremidade. Se o eixo está a 20 cm de uma extremidade, a distância entre o centro de massa e o eixo é:
d

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento de inércia no centro:
Icentro = 112 times 0,56 , kg times (1 , m)^2 = 0,5612 = 0,0467 , kg·m^2

Passo 6

Aplicando o Teorema de Eixo Paralelo:
I = 0,0467 , kg·m^2 + 0,56 , kg times (0,3 , m)^2
Calculando o segundo termo:
0,56 times 0,09 = 0,0504 , kg·m^2
Somando os dois termos:
I = 0,0467 + 0,0504 = 0,0971 , kg·m^2

Resposta

O momento de inércia da régua em relação ao eixo na marca de 20 cm é aproximadamente 0,097 kg·m².

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