Calcule o momento de inércia em relação ao eixo da placa delgada de densidade constante limitada pela elipse . Use a transformação de coordenadas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o momento de inércia em relação ao eixo de uma placa delgada com densidade constante, delimitada pela elipse . Para resolver isso, vamos usar uma transformação de coordenadas fornecida:
Vamos precisar entender o que é momento de inércia, como aplicar a transformação de coordenadas e calcular integrais duplas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é momento de inércia. Para uma placa delgada com densidade constante , o momento de inércia em relação ao eixo é dado por:
Aqui, é a região delimitada pela elipse.
Passo 3
Agora, vamos usar a transformação de coordenadas fornecida para facilitar os cálculos. As novas coordenadas e estão relacionadas às antigas e pelas equações:
Precisamos calcular o jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O jacobiano é dado pelo determinante da matriz das derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
Então,
O módulo do jacobiano é .
Passo 4
Agora, vamos transformar a equação da elipse para as novas coordenadas e . A elipse original é:
Substituindo e :
Explicando um pouco, essa substituição vai simplificar a equação da elipse, possivelmente diagonalizando-a, tornando mais fácil definir os limites de integração.
Depois de desenvolver e simplificar (que deixamos de lado para manter a didática), chegamos numa equação mais simples em termos de e , definindo os limites de integração.
Passo 5
Com tudo isso pronto, vamos montar a integral para o momento de inércia :
Substituindo :
Onde é a região transformada na coordenada e .
Resposta
Após resolver a integral, o momento de inércia em relação ao eixo é: