Determine a integral onde é a região trapezoidal limitada com vértices e . Faça a seguinte mudança de coordenadas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve na região trapezoidal com vértices em , , e . A matéria que vamos usar aqui envolve mudança de coordenadas e cálculo de integrais duplas. Vamos precisar mudar as coordenadas para facilitar a integração e calcular o determinante jacobiano para ajustar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a mudança de coordenadas sugerida: e . Isso vai simplificar a expressão dentro do cosseno e facilitar a definição dos limites de integração.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as novas expressões para e em termos de e . A partir das equações e , podemos resolver:
Passo 4
Com isso, precisamos calcular o determinante jacobiano da transformação para ajustar a área na integral. O jacobiano é dado por:
O valor absoluto do jacobiano é .
Passo 5
Vamos agora determinar a nova região em coordenadas . Os vértices originais transformam-se da seguinte forma:
: , .
: , .
: , .
: , .
Então, a nova região em é um trapezoide limitado por entre e e entre e .
Passo 6
Substituindo na integral original, temos:
Note que .
Passo 7
Vamos simplificar a integral interna. Como é uma função par em , podemos escrever: