Determine a integral onde é a região trapezoidal limitada com vértices e . Faça a seguinte mudança de coordenadas

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve na região trapezoidal com vértices em , , e . A matéria que vamos usar aqui envolve mudança de coordenadas e cálculo de integrais duplas. Vamos precisar mudar as coordenadas para facilitar a integração e calcular o determinante jacobiano para ajustar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de coordenadas sugerida: e . Isso vai simplificar a expressão dentro do cosseno e facilitar a definição dos limites de integração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as novas expressões para e em termos de e . A partir das equações e , podemos resolver:

Passo 4

Com isso, precisamos calcular o determinante jacobiano da transformação para ajustar a área na integral. O jacobiano é dado por:
O valor absoluto do jacobiano é .

Passo 5

Vamos agora determinar a nova região em coordenadas . Os vértices originais transformam-se da seguinte forma:
  • : , .
  • : , .
  • : , .
  • : , .
Então, a nova região em é um trapezoide limitado por entre e e entre e .

Passo 6

Substituindo na integral original, temos:
Note que .

Passo 7

Vamos simplificar a integral interna. Como é uma função par em , podemos escrever:

Passo 8

Fazendo a substituição , então . A integral fica:

Passo 9

Sabemos que . Então:

Passo 10

Voltando à integral externa:

Passo 11

Calculando .

Passo 12

Finalmente, substituindo:

Resposta

A integral vale .

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