Determine a integral integral duplaR cos ^2(x-yx+y) d A onde R é a região trapezoidal limitada com vértices (1,0),(2,0),(0,2) e (0,1). Faça a seguinte mudança de coordenadas u=x+y, v=x-y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve cos^2(x - yx + y) na região trapezoidal R com vértices em (1,0), (2,0), (0,2) e (0,1). A matéria que vamos usar aqui envolve mudança de coordenadas e cálculo de integrais duplas. Vamos precisar mudar as coordenadas para facilitar a integração e calcular o determinante jacobiano para ajustar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de coordenadas sugerida: u = x + y e v = x - y. Isso vai simplificar a expressão dentro do cosseno e facilitar a definição dos limites de integração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as novas expressões para x e y em termos de u e v. A partir das equações u = x + y e v = x - y, podemos resolver:
x = u + v2, y = u - v2

Passo 4

Com isso, precisamos calcular o determinante jacobiano da transformação para ajustar a área na integral. O jacobiano J é dado por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 12 & 12 12 & -12 = -12
O valor absoluto do jacobiano é 12.

Passo 5

Vamos agora determinar a nova região R em coordenadas (u, v). Os vértices originais transformam-se da seguinte forma:
  • (1,0): u = 1 + 0 = 1, v = 1 - 0 = 1.
  • (2,0): u = 2 + 0 = 2, v = 2 - 0 = 2.
  • (0,2): u = 0 + 2 = 2, v = 0 - 2 = -2.
  • (0,1): u = 0 + 1 = 1, v = 0 - 1 = -1.
Então, a nova região R em (u, v) é um trapezoide limitado por u entre 1 e 2 e v entre -2 e 2.

Passo 6

Substituindo na integral original, temos:
integral duplaR cos^2(vu) cdot |12| , du , dv = 12 integralu=1^2 integralv=-u^u cos^2(vu) , dv , du
Note que x - yx + y = vu.

Passo 7

Vamos simplificar a integral interna. Como cos^2(vu) é uma função par em v, podemos escrever:
integralv=-u^u cos^2(vu) , dv = 2 integralv=0^u cos^2(vu) , dv

Passo 8

Fazendo a substituição t = vu, então dv = u , dt. A integral fica:
2 integralt=0^1 cos^2(t) cdot u , dt = 2u integral0^1 cos^2(t) , dt

Passo 9

Sabemos que integral cos^2(t) , dt = t2 + sin(2t)4 + C. Então:
2u [ 12t + sin(2t)4 ]0^1 = 2u ( 12 cdot 1 + sin(2)4 ) = u ( 1 + sin(2)2 )

Passo 10

Voltando à integral externa:
12 integral1^2 u ( 1 + sin(2)2 ) , du = 12 ( 1 + sin(2)2 ) integral1^2 u , du

Passo 11

Calculando integral1^2 u , du = [ u^22 ]1^2 = 42 - 12 = 32.

Passo 12

Finalmente, substituindo:
12 ( 1 + sin(2)2 ) cdot 32 = 34 ( 1 + sin(2)2 ) = 34 + 3 sin(2)8

Resposta

A integral vale 34 + 3 sin(2)8.

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