Determine a integral onde é a região trapezoidal limitada com vértices e . Faça a seguinte mudança de coordenadas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve na região trapezoidal com vértices em , , e . A matéria que vamos usar aqui envolve mudança de coordenadas e cálculo de integrais duplas. Vamos precisar mudar as coordenadas para facilitar a integração e calcular o determinante jacobiano para ajustar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a mudança de coordenadas sugerida: e . Isso vai simplificar a expressão dentro do cosseno e facilitar a definição dos limites de integração.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as novas expressões para e em termos de e . A partir das equações e , podemos resolver:
Passo 4
Com isso, precisamos calcular o determinante jacobiano da transformação para ajustar a área na integral. O jacobiano é dado por:
O valor absoluto do jacobiano é 12.
Passo 5
Vamos agora determinar a nova região R em coordenadas (u, v). Os vértices originais transformam-se da seguinte forma:
(1,0): u = 1 + 0 = 1, v = 1 - 0 = 1.
(2,0): u = 2 + 0 = 2, v = 2 - 0 = 2.
(0,2): u = 0 + 2 = 2, v = 0 - 2 = -2.
(0,1): u = 0 + 1 = 1, v = 0 - 1 = -1.
Então, a nova região R em (u, v) é um trapezoide limitado por u entre 1 e 2 e v entre -2 e 2.
Passo 6
Substituindo na integral original, temos:
integral duplaR cos^2(vu) cdot |12| , du , dv = 12 integralu=1^2 integralv=-u^u cos^2(vu) , dv , du
Note que x - yx + y = vu.
Passo 7
Vamos simplificar a integral interna. Como cos^2(vu) é uma função par em v, podemos escrever:
integralv=-u^u cos^2(vu) , dv = 2 integralv=0^u cos^2(vu) , dv
Passo 8
Fazendo a substituição t = vu, então dv = u , dt. A integral fica: