Calcule nabla f
f(x, y, z) = z * arcsen(x * y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente de uma função, que é um conceito da matéria de Cálculo Multivariável. O gradiente, representado por nabla f, nos dá uma ideia da direção em que a função cresce mais rapidamente. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis: x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x. A função dada é:
Para derivar em relação a , tratamos x e y como constantes. A derivada da em relação a z é . Então, aplicando a regra da cadeia:
u

Passo 3

Agora, vamos derivar f em relação a y. Novamente, tratamos x e z como constantes:

Passo 4

Por último, vamos derivar f em relação a z. Aqui, a derivada é mais simples, já que z está multiplicando a função :

Resposta

Então, o gradiente de f é:

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