Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra da cadeia, e calcular as derivadas em relação a cada variável, primeiro de primeira ordem e depois de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, ou seja,
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada da função exponencial
em relação a
é
, onde
.
Passo 3
Calculando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de segunda ordem em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar
em relação a
novamente.
Passo 5
Derivando
em relação a
:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial mista
. Isso significa derivar
em relação a
.
Passo 7
Derivando
em relação a
:
Passo 8
Por fim, calculamos a derivada parcial de segunda ordem em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar
em relação a
.
Primeiro, encontramos
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: