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Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
(a) y' = t^2 / (y (1 + t^3))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, mais especificamente equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Lembrando que é a derivada de em relação a , podemos escrever:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por para separar e .

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é simples:
Para o lado direito, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja , então , ou seja, :

Passo 4

Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Onde é uma constante de integração geral.

Passo 5

Resolvendo para , multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos simplificar a constante para simplesmente :

Resposta

A solução geral da equação é dada por:
Onde é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.

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