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Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
(a)
Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, mais especificamente equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Lembrando que
é a derivada de
em relação a
, podemos escrever:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
para separar
e
.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é simples:
Para o lado direito, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
, ou seja,
:
Passo 4
Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Onde
é uma constante de integração geral.
Passo 5
Resolvendo para
, multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos simplificar a constante
para simplesmente
:
Resposta
A solução geral da equação é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.