Calcule o núcleo e o conjunto imagem das transformações abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o núcleo e o conjunto imagem da transformação linear
definida por:
Aqui, estamos lidando com conceitos de Álgebra Linear, especificamente com núcleo (ou kernel) e imagem (ou conjunto imagem) de uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar montar e resolver sistemas lineares, além de entender como identificar o espaço gerado pelas colunas da transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação
. O núcleo consiste em todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja, queremos resolver:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para encontrar
. Podemos usar o método da eliminação. Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 3:
Agora, subtraímos a segunda equação dessa nova equação:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, substituímos
na primeira equação original:
Então, temos:
Podemos expressar os vetores do núcleo como:
Onde
é um número real qualquer.
Passo 5
Agora, vamos determinar o conjunto imagem da transformação
. A imagem é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos através da transformação
. Para isso, podemos analisar as colunas da matriz associada a
.
A matriz de
é:
O conjunto imagem é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz. Precisamos verificar se as colunas são linearmente independentes.
Passo 6
Vamos verificar a independência linear das colunas. Consideramos as colunas:
Observamos que:
De fato:
Isso significa que a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras, portanto, apenas duas colunas são necessárias para gerar a imagem.
Passo 7
Como as duas primeiras colunas são linearmente independentes, o conjunto imagem de
é todo o espaço
. Isso porque duas colunas independentes em
já geram o espaço completo.
Resposta
O núcleo de
é o conjunto de todos os vetores da forma
para
, ou seja:
E o conjunto imagem de
é todo o espaço
: