Calcule o núcleo e o conjunto imagem das transformações abaixo:
T: R^3 R^2
(x, y, z) mapsto T(x, y, z)=(x+2 y+3 z, 3 x+2 y+z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o núcleo e o conjunto imagem da transformação linear T(x, y, z) = (x + 2y + 3z, , 3x + 2y + z) definida por:
Aqui, estamos lidando com conceitos de Álgebra Linear, especificamente com núcleo (ou kernel) e imagem (ou conjunto imagem) de uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar montar e resolver sistemas lineares, além de entender como identificar o espaço gerado pelas colunas da transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação T(x, y, z) = (0, 0) . O núcleo consiste em todos os vetores x + 2y + 3z = 0 3x + 2y + z = 0 em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos resolver:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar 3x + 6y + 9z = 0 . Podemos usar o método da eliminação. Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 3:
(3x + 6y + 9z) - (3x + 2y + z) = 0 - 0 4y + 8z = 0
Agora, subtraímos a segunda equação dessa nova equação:
y + 2z = 0 implies y = -2z
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, substituímos x + 2(-2z) + 3z = 0 x - 4z + 3z = 0 x - z = 0 implies x = z na primeira equação original:
x = z e y = -2z
Então, temos:
(x, y, z) = (z, -2z, z) = z cdot (1, -2, 1)
Podemos expressar os vetores do núcleo como:
Onde é um número real qualquer.

Passo 5

Agora, vamos determinar o conjunto imagem da transformação A = 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos através da transformação . Para isso, podemos analisar as colunas da matriz associada a .
A matriz de é:
O conjunto imagem é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz. Precisamos verificar se as colunas são linearmente independentes.

Passo 6

Vamos verificar a independência linear das colunas. Consideramos as colunas:
v1 = 1 3 , v2 = 2 2 , v3 = 3 1
Observamos que:
v3 = v1 + v2
De fato:
3 1 = 1 3 + 2 2
Isso significa que a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras, portanto, apenas duas colunas são necessárias para gerar a imagem.

Passo 7

Como as duas primeiras colunas são linearmente independentes, o conjunto imagem de é todo o espaço . Isso porque duas colunas independentes em já geram o espaço completo.

Resposta

O núcleo de Núc<=o(T) = , (z, -2z, z) mid z in R , é o conjunto de todos os vetores da forma Ima>=m(T) = R^2 para , ou seja:
ú
E o conjunto imagem de é todo o espaço :

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