Encontre a lei que define a transformação linear
que faz associar cada vetor
à sua reflexão em torno do eixo
.
Determine
.
Represente no sistema de eixos cartesianos.
Determine
Represente no sistema de eixos cartesianos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir a regra que define uma transformação linear
que reflete qualquer vetor
em torno do eixo
. Além disso, precisamos determinar o resultado dessa transformação para o vetor
e representá-lo no sistema de eixos cartesianos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa refletir um vetor em torno do eixo
. Refletir em torno do
basicamente inverte a coordenada
do vetor, enquanto a coordenada
permanece a mesma. Ou seja, se tivermos um vetor
, sua reflexão será
.
Passo 3
Agora, vamos definir a transformação linear
que faz essa reflexão. Sabemos que transformações lineares podem ser representadas por matrizes. Para refletir em torno do eixo
, a matriz de transformação será:
Essa matriz multiplica a coordenada
por
e deixa a coordenada
inalterada.
Passo 4
Com a matriz
definida, podemos aplicar essa transformação ao vetor
. Vamos fazer a multiplicação matricial:
Passo 5
Finalmente, para representar isso no sistema de eixos cartesianos, o ponto original
será refletido para
. Isso significa que o ponto se move 2 unidades para a direita em relação ao eixo
, mantendo a mesma distância do eixo
.
Resposta
A transformação linear
reflete o vetor
em torno do eixo
, resultando em
.