Encontre a lei que define a transformação linear T: R^2 R^2 que faz associar cada vetor v=(x, y) à sua reflexão em torno do eixo Y.
Determine T(-2,-3).
Represente no sistema de eixos cartesianos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir a regra que define uma transformação linear que reflete qualquer vetor em torno do eixo . Além disso, precisamos determinar o resultado dessa transformação para o vetor e representá-lo no sistema de eixos cartesianos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa refletir um vetor em torno do eixo . Refletir em torno do basicamente inverte a coordenada do vetor, enquanto a coordenada permanece a mesma. Ou seja, se tivermos um vetor , sua reflexão será .

Passo 3

Agora, vamos definir a transformação linear T = -1 & 0 0 & 1 que faz essa reflexão. Sabemos que transformações lineares podem ser representadas por matrizes. Para refletir em torno do eixo , a matriz de transformação será:
Essa matriz multiplica a coordenada por e deixa a coordenada inalterada.

Passo 4

Com a matriz T cdot -2 -3 = -1 & 0 0 & 1 cdot -2 -3 = (-1)(-2) + (0)(-3) (0)(-2) + (1)(-3) = 2 -3 definida, podemos aplicar essa transformação ao vetor . Vamos fazer a multiplicação matricial:

Passo 5

Finalmente, para representar isso no sistema de eixos cartesianos, o ponto original será refletido para . Isso significa que o ponto se move 2 unidades para a direita em relação ao eixo , mantendo a mesma distância do eixo .

Resposta

A transformação linear reflete o vetor em torno do eixo , resultando em .

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