Seja T: R^3 R^2 uma transformação linear tal que T(1,0,0)=(2,4), T(0,1,0)=(3,5) e T(1,1,1)=(1,1). Indique a lei de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre transformações lineares, que são funções que passam vetores de um espaço vetorial para outro respeitando certas regras. Aqui, temos uma transformação e queremos descobrir qual é a lei dessa transformação usando as informações dadas. Vamos precisar lembrar que em transformações lineares, a imagem de qualquer vetor pode ser obtida combinando as imagens dos vetores da base.

Passo 2

Primeiro, anote as informações que a gente já tem:
T(1,0,0) = (2,4), T(0,1,0) = (3,5), T(1,1,1) = (1,1)
A gente quer descobrir para conseguir montar a lei completa de .

Passo 3

Como T(1,1,1) = T(1,0,0) + T(0,1,0) + T(0,0,1) é linear, sabemos que:
(1,1) = (2,4) + (3,5) + T(0,0,1)
Substituindo os valores que temos:

Passo 4

Vamos resolver para T(0,0,1) = (1,1) - (2+3,4+5) = (1-5, 1-9) = (-4,-8) :

Passo 5

Agora que temos todas as imagens dos vetores da base, podemos escrever a lei de T(x,y,z) = x cdot T(1,0,0) + y cdot T(0,1,0) + z cdot T(0,0,1) . Para qualquer vetor T(x,y,z) = x cdot (2,4) + y cdot (3,5) + z cdot (-4,-8) em T(x,y,z) = (2x + 3y - 4z, ; 4x + 5y - 8z) :
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A lei da transformação T(x,y,z) = (2x + 3y - 4z,; 4x + 5y - 8z) é dada por:

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