Seja
uma transformação linear tal que
e
. Indique a lei de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre transformações lineares, que são funções que passam vetores de um espaço vetorial para outro respeitando certas regras. Aqui, temos uma transformação
e queremos descobrir qual é a lei dessa transformação usando as informações dadas. Vamos precisar lembrar que em transformações lineares, a imagem de qualquer vetor pode ser obtida combinando as imagens dos vetores da base.
Passo 2
Primeiro, anote as informações que a gente já tem:
A gente quer descobrir
para conseguir montar a lei completa de
.
Passo 3
Como
é linear, sabemos que:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Vamos resolver para
:
Passo 5
Agora que temos todas as imagens dos vetores da base, podemos escrever a lei de
. Para qualquer vetor
em
:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A lei da transformação
é dada por: