Calcule o núcleo e o conjunto imagem das transformações abaixo:
T: R^2 R^3
(x, y) mapsto T(x, y)=(x+y, 2 x-y,-x+3 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o núcleo e o conjunto imagem da transformação linear definida por .
Nesse problema, estamos trabalhando com transformações lineares e conceitos de núcleo e imagem dessas transformações. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar soluções de sistemas lineares e identificar espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação T(x, y) = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores x + y = 0 2x - y = 0 - x + 3y = 0 em que são transformados no vetor zero em . Ou seja, queremos resolver a equação:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar x + y = 0 Rightarrow x = -y e 2(-y) - y = -2y - y = -3y = 0 Rightarrow y = 0 que satisfazem todas as três equações simultaneamente.
Da primeira equação, temos:
x = -0 = 0
Agora, substituímos na segunda equação:
Com , voltando à primeira equação:

Passo 4

Encontramos que Núc<=o(T) = , (0, 0) , e são as únicas soluções para o sistema. Isso significa que o núcleo de é o conjunto que contém apenas o vetor zero:
ú

Passo 5

Agora, vamos determinar o conjunto imagem de a = x + y b = 2x - y c = -x + 3y . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em . Formalmente, queremos descrever todos os vetores em tais que existem e em com:

Passo 6

Vamos representar a transformação A = 1 & 1 2 & -1 -1 & 3 por uma matriz:
Os vetores coluna dessa matriz, e , são os geradores da imagem de .

Passo 7

Para descrever o conjunto imagem, observamos que qualquer combinação linear de Ima>=m(T) = Espaço , (1, 2, -1),, (1, -1, 3) , e também estará na imagem de . Portanto, a imagem é o espaço gerado por esses vetores:
ç
Isso significa que a imagem de é um plano no espaço tridimensional definido por esses dois vetores.

Resposta

O núcleo da transformação é e o conjunto imagem de é o subespaço gerado pelos vetores e em .

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