Dê exemplo de uma matriz simétrica A tal que A(1,1,1)^t=(1,1,1)^t e lambda=-2 é autovalor de A com multiplicidade algébrica dois. A solução é única?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma matriz simétrica 1 1 1 que:
  1. Quando multiplicada pelo vetor 1 1 1, retorna o mesmo vetor. Isso significa que é um autovetor de com autovalor .
  2. Possui o autovalor com multiplicidade algébrica dois.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e matrizes simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica satisfaz , onde é a transposta de . Além disso, matrizes simétricas têm autovalores reais e seus autovetores correspondentes são ortogonais.
No nosso caso, a matriz é 3x3 e possui três autovalores: e (com multiplicidade 2). Vamos usar isso para construir a matriz.

Passo 3

Sabemos que se uma matriz tem autovalores A = PDP^-1 , ela pode ser diagonalizada na forma:
onde é a matriz diagonal com os autovalores e é a matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes.
Como é simétrica, será uma matriz ortogonal, ou seja, .

Passo 4

Vamos escolher os autovetores. Sabemos que 1 1 1 é um autovetor associado ao autovalor 1 1 1. Agora precisamos de dois autovetores adicionais associados ao autovalor v2 = 1 -1 0, v3 = 1 1 -2 que sejam ortogonais entre si e também diferentes de 1 1 1.
Para simplificar, podemos escolher:
Verificamos que e são ortogonais entre si e também ortogonais a .

Passo 5

Agora, construímos a matriz P = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 0 & -2 com esses autovetores como colunas:
D = 1 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & -2
E a matriz diagonal com os autovalores:

Passo 6

Como A = P D P^T (já que A = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 0 & -2 1 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & -2 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 1 & -2 para matrizes ortogonais), vamos calcular A = 1 & -1 & -1 -1 & 3 & 2 -1 & 2 & 3 :
Fazendo essa multiplicação, obtemos:
Após os cálculos, a matriz fica:

Passo 7

Vamos verificar se 1 1 1 satisfaz as condições:
  1. 1 1 1 é simétrica, pois .
  2. .
  3. Os autovalores de são e com multiplicidade algébrica dois.
Tudo está conforme o solicitado.

Resposta

Um exemplo de matriz simétrica que satisfaz as condições é:
A = 1 & -1 & -1 -1 & 3 & 2 -1 & 2 & 3
Além disso, a solução não é única, pois existem outras matrizes simétricas que também atendem aos requisitos do enunciado.

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