Dê exemplo de uma matriz simétrica tal que e é autovalor de com multiplicidade algébrica dois. A solução é única?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma matriz simétrica que:
Quando multiplicada pelo vetor , retorna o mesmo vetor. Isso significa que é um autovetor de com autovalor .
Possui o autovalor com multiplicidade algébrica dois.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e matrizes simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica satisfaz , onde é a transposta de . Além disso, matrizes simétricas têm autovalores reais e seus autovetores correspondentes são ortogonais.
No nosso caso, a matriz é 3x3 e possui três autovalores: e (com multiplicidade 2). Vamos usar isso para construir a matriz.
Passo 3
Sabemos que se uma matriz tem autovalores A = PDP^-1 , ela pode ser diagonalizada na forma:
onde é a matriz diagonal com os autovalores e é a matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes.
Como é simétrica, será uma matriz ortogonal, ou seja, .
Passo 4
Vamos escolher os autovetores. Sabemos que 1 1 1 é um autovetor associado ao autovalor 1 1 1. Agora precisamos de dois autovetores adicionais associados ao autovalor v2 = 1 -1 0, v3 = 1 1 -2 que sejam ortogonais entre si e também diferentes de 1 1 1.
Para simplificar, podemos escolher:
Verificamos que e são ortogonais entre si e também ortogonais a .
Passo 5
Agora, construímos a matriz P = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 0 & -2 com esses autovetores como colunas:
D = 1 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & -2
E a matriz diagonal com os autovalores:
Passo 6
Como A = P D P^T (já que A = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 0 & -2 1 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & -2 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 1 & -2 para matrizes ortogonais), vamos calcular A = 1 & -1 & -1 -1 & 3 & 2 -1 & 2 & 3 :
Fazendo essa multiplicação, obtemos:
Após os cálculos, a matriz fica:
Passo 7
Vamos verificar se 1 1 1 satisfaz as condições:
1 1 1 é simétrica, pois .
.
Os autovalores de são e com multiplicidade algébrica dois.
Tudo está conforme o solicitado.
Resposta
Um exemplo de matriz simétrica que satisfaz as condições é:
A = 1 & -1 & -1 -1 & 3 & 2 -1 & 2 & 3
Além disso, a solução não é única, pois existem outras matrizes simétricas que também atendem aos requisitos do enunciado.