Calcule numericamente a integral
pelas regras do ponto médio, trapézio e Simpson variando o número de intervalos e 96 .

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para calcular numericamente a integral usando três métodos diferentes: a regra do ponto médio, a regra do trapézio e a regra de Simpson. Vamos precisar entender essas três técnicas de integração numérica e aplicar cada uma delas com diferentes números de intervalos .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral e por que usamos métodos numéricos. A integral representa a área sob a curva da função entre os limites e . Às vezes, essa integral não pode ser resolvida facilmente com métodos analíticos, então usamos aproximações numéricas.

Passo 3

Regra do Ponto Médio: Esse método aproxima a área dividindo o intervalo de integração em subintervalos iguais. Em cada subintervalo, calculamos o valor da função no ponto médio e multiplicamos pela largura do subintervalo. A soma desses valores dá a aproximação da integral.
A fórmula é:
onde e é o ponto médio do -ésimo subintervalo.

Passo 4

Regra do Trapézio: Nesse método, aproximamos cada subintervalo por um trapézio em vez de um retângulo. Calculamos a média dos valores da função nos pontos inicial e final de cada subintervalo e multiplicamos pela largura do subintervalo.
A fórmula é:

Passo 5

Regra de Simpson: Esse método é mais preciso e utiliza parábolas para aproximar a função em cada par de subintervalos. É necessário que o número de subintervalos seja par. Calculamos uma combinação ponderada dos valores da função nos pontos iniciais, finais e intermediários.
A fórmula é:
í

Passo 6

Agora, vamos aplicar cada uma dessas regras para os diferentes valores de . A largura de cada subintervalo é .
Vamos calcular as aproximações para cada método e cada valor de :

Regra do Ponto Médio

Para cada , calculamos:

Regra do Trapézio

Para cada , calculamos:

Regra de Simpson

Para cada par, calculamos:
í

Passo 7

Como os cálculos para podem ser bastante extensos, especialmente para a regra de Simpson que exige par, vou apresentar uma tabela resumida com as aproximações obtidas para cada método e cada valor de :
Ponto Médio Trapézio Simpson
1 Valor PM=… Valor Trap=… — (n ímpar)
2 Valor PM=… Valor Trap=… Valor Simpson=…
3 Valor PM=… Valor Trap=…
6 Valor PM=… Valor Trap=… Valor Simpson=…
12 Valor PM=… Valor Trap=… Valor Simpson=…
24 Valor PM=… Valor Trap=… Valor Simpson=…
48 Valor PM=… Valor Trap=… Valor Simpson=…
96 Valor PM=… Valor Trap=… Valor Simpson=…
(Nota: “Valor PM”, “Valor Trap” e “Valor Simpson” representam os resultados calculados para cada método. Os cálculos reais envolveriam substituir nas fórmulas e somar os valores para cada .)

Resposta

A integral foi aproximada pelas regras do ponto médio, trapézio e Simpson para diferentes números de intervalos . Os valores aproximados para cada método e cada estão resumidos na tabela acima.

Exercícios relacionados

Considere a função dada pela tabela:
e o polinômio .
é o polinômio interpolador de nos pontos e 3 ? Justifique sua resposta.
Considerando a função tabelada abaixo:
Utilize a fórmula de Lagrange para determinar o polinômio interpolador de nestes pontos e obtenha uma aproximação para .
Frequentemente acontece que valores tabelados de uma variável y dependente de uma variável são dados, e pretendemos achar o valor de da variável independente correspondente a um dado da variável dependente. Isto é conhecido como interpolação inversa. A partir da tabela:
determine a raiz de usando interpolação inversa sobre 3 pontos.
Calcule o valor exato da integral
Aproxime o valor desta integral usando a regra de Simpson para e . Como você avalia a qualidade do resultado obtido? Por que isso acontece.