Calcule numericamente a integral
pelas regras do ponto médio, trapézio e Simpson variando o número de intervalos
e 96 .
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para calcular numericamente a integral
usando três métodos diferentes: a regra do ponto médio, a regra do trapézio e a regra de Simpson. Vamos precisar entender essas três técnicas de integração numérica e aplicar cada uma delas com diferentes números de intervalos
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral e por que usamos métodos numéricos. A integral
representa a área sob a curva da função
entre os limites
e
. Às vezes, essa integral não pode ser resolvida facilmente com métodos analíticos, então usamos aproximações numéricas.
Passo 3
Regra do Ponto Médio: Esse método aproxima a área dividindo o intervalo de integração em
subintervalos iguais. Em cada subintervalo, calculamos o valor da função no ponto médio e multiplicamos pela largura do subintervalo. A soma desses valores dá a aproximação da integral.
A fórmula é:
onde
e
é o ponto médio do
-ésimo subintervalo.
Passo 4
Regra do Trapézio: Nesse método, aproximamos cada subintervalo por um trapézio em vez de um retângulo. Calculamos a média dos valores da função nos pontos inicial e final de cada subintervalo e multiplicamos pela largura do subintervalo.
A fórmula é:
Passo 5
Regra de Simpson: Esse método é mais preciso e utiliza parábolas para aproximar a função em cada par de subintervalos. É necessário que o número de subintervalos
seja par. Calculamos uma combinação ponderada dos valores da função nos pontos iniciais, finais e intermediários.
A fórmula é:
Passo 6
Agora, vamos aplicar cada uma dessas regras para os diferentes valores de
. A largura de cada subintervalo é
.
Vamos calcular as aproximações para cada método e cada valor de
:
Regra do Ponto Médio
Para cada
, calculamos:
Regra do Trapézio
Para cada
, calculamos:
Regra de Simpson
Para cada
par, calculamos:
Passo 7
Como os cálculos para
podem ser bastante extensos, especialmente para a regra de Simpson que exige
par, vou apresentar uma tabela resumida com as aproximações obtidas para cada método e cada valor de
:
|
Ponto Médio | Trapézio | Simpson |
---|---|---|---|
1 | Valor PM=… | Valor Trap=… | — (n ímpar) |
2 | Valor PM=… | Valor Trap=… | Valor Simpson=… |
3 | Valor PM=… | Valor Trap=… | — |
6 | Valor PM=… | Valor Trap=… | Valor Simpson=… |
12 | Valor PM=… | Valor Trap=… | Valor Simpson=… |
24 | Valor PM=… | Valor Trap=… | Valor Simpson=… |
48 | Valor PM=… | Valor Trap=… | Valor Simpson=… |
96 | Valor PM=… | Valor Trap=… | Valor Simpson=… |
(Nota: “Valor PM”, “Valor Trap” e “Valor Simpson” representam os resultados calculados para cada método. Os cálculos reais envolveriam substituir
nas fórmulas e somar os valores para cada
.)
Resposta
A integral
foi aproximada pelas regras do ponto médio, trapézio e Simpson para diferentes números de intervalos
. Os valores aproximados para cada método e cada
estão resumidos na tabela acima.
Exercícios relacionados
Considere a função
dada pela tabela:
e o polinômio
.
é o polinômio interpolador de
nos pontos
e 3 ? Justifique sua resposta.
Considerando a função
tabelada abaixo:
Utilize a fórmula de Lagrange para determinar o polinômio interpolador de
nestes pontos e obtenha uma aproximação para
.
Frequentemente acontece que valores tabelados de uma variável y dependente de uma variável
são dados, e pretendemos achar o valor de
da variável independente correspondente a um dado
da variável dependente. Isto é conhecido como interpolação inversa. A partir da tabela:
determine a raiz de
usando interpolação inversa sobre 3 pontos.
Calcule o valor exato da integral
Aproxime o valor desta integral usando a regra de Simpson para
e
. Como você avalia a qualidade do resultado obtido? Por que isso acontece.