Considere a função f(x) dada pela tabela:
x | 0 1 2 3 f(x) | 0 0 0 0
e o polinômio P(x) = x(x - 1)(x - 2)(x - 3).
P(x) é o polinômio interpolador de f nos pontos 0,1,2 e 3 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida pela tabela onde, para , . Além disso, temos o polinômio . A questão é perguntar se esse polinômio é o polinômio interpolador de nesses pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um polinômio interpolador e verificar se satisfaz as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio interpolador. Esse é um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados. No nosso caso, queremos que passe pelos pontos , , e .

Passo 3

Vamos calcular para cada um desses valores de e ver se ele realmente retorna zero nesses pontos.
Para :
Para :
Para :
Para :
Em todos os casos, , que é igual a nos pontos dados.

Passo 4

No entanto, é importante notar que o polinômio interpolador deve ser o polinômio de menor grau que passa por todos os pontos. No nosso caso, como todos os valores de são zero, o polinômio interpolador mais simples é a função constante , que é de grau zero.
O polinômio dado é um polinômio de grau quatro, que também satisfaz a condição para , mas não é o menor grau possível.

Resposta

Não, não é o polinômio interpolador de nos pontos e , pois embora passe por esses pontos, ele não é o polinômio de menor grau que satisfaz as condições de interpolação.

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