Considere a função
dada pela tabela:
e o polinômio
.
é o polinômio interpolador de
nos pontos
e 3 ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida pela tabela onde, para
,
. Além disso, temos o polinômio
. A questão é perguntar se esse polinômio
é o polinômio interpolador de
nesses pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um polinômio interpolador e verificar se
satisfaz as condições necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio interpolador. Esse é um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados. No nosso caso, queremos que
passe pelos pontos
,
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
para cada um desses valores de
e ver se ele realmente retorna zero nesses pontos.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Em todos os casos,
, que é igual a
nos pontos dados.
Passo 4
No entanto, é importante notar que o polinômio interpolador deve ser o polinômio de menor grau que passa por todos os pontos. No nosso caso, como todos os valores de
são zero, o polinômio interpolador mais simples é a função constante
, que é de grau zero.
O polinômio dado
é um polinômio de grau quatro, que também satisfaz a condição
para
, mas não é o menor grau possível.
Resposta
Não,
não é o polinômio interpolador de
nos pontos
e
, pois embora passe por esses pontos, ele não é o polinômio de menor grau que satisfaz as condições de interpolação.
Exercícios relacionados
Considerando a função
tabelada abaixo:
Utilize a fórmula de Lagrange para determinar o polinômio interpolador de
nestes pontos e obtenha uma aproximação para
.
Dado o conjunto de pontos
. Encontre uma função linear usando o método dos mínimos quadrados que melhor se ajusta a esses pontos.
Calcule numericamente a integral
pelas regras do ponto médio, trapézio e Simpson variando o número de intervalos
e 96 .
Frequentemente acontece que valores tabelados de uma variável y dependente de uma variável
são dados, e pretendemos achar o valor de
da variável independente correspondente a um dado
da variável dependente. Isto é conhecido como interpolação inversa. A partir da tabela:
determine a raiz de
usando interpolação inversa sobre 3 pontos.