Frequentemente acontece que valores tabelados de uma variável y dependente de uma variável x são dados, e pretendemos achar o valor de barx da variável independente correspondente a um dado bary da variável dependente. Isto é conhecido como interpolação inversa. A partir da tabela:
c|cccccc x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 hline f(x) & 0.841 & 0.909 & 0.141 & -0.757 & -0.959 & -0.279
determine a raiz de f(x) usando interpolação inversa sobre 3 pontos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a raiz da função f(x) usando interpolação inversa com 3 pontos da tabela fornecida. Ou seja, queremos descobrir o valor de x que faz f(x) = 0. Para isso, vamos usar a interpolação inversa, que basicamente nos ajuda a encontrar um valor de x dado um valor de y, aqui sendo y = 0.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a tabela e identificar quais três pontos vamos usar para a interpolação. A ideia é escolher pontos próximos onde f(x) muda de sinal, indicando que a raiz está entre eles. Observando a tabela:
c|cccccc x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 hline f(x) & 0.841 & 0.909 & 0.141 & -0.757 & -0.959 & -0.279
Vemos que f(x) passa de positivo para negativo entre x = 3 e x = 4. Então, vamos escolher os pontos x = 2, x = 3 e x = 4 para a interpolação inversa.

Passo 3

Agora, vamos preparar os dados para a interpolação inversa. Como queremos f(x) = 0, vamos inverter a tabela para ter y em função de x. Nossos pontos selecionados são:
  • (0.909, 2)
  • (0.141, 3)
  • (-0.757, 4)

Passo 4

Vamos montar o polinômio de interpolação inversa usando a fórmula de Lagrange. A fórmula geral para três pontos é:
P(y) = y0 cdot (y - y1)(y - y2)(y0 - y1)(y0 - y2) + y1 cdot (y - y0)(y - y2)(y1 - y0)(y1 - y2) + y2 cdot (y - y0)(y - y1)(y2 - y0)(y2 - y1)
Onde:
  • y0 = 0.909, x0 = 2
  • y1 = 0.141, x1 = 3
  • y2 = -0.757, x2 = 4

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
P(0) = 2 cdot (0 - 0.141)(0 - (-0.757))(0.909 - 0.141)(0.909 - (-0.757)) + 3 cdot (0 - 0.909)(0 - (-0.757))(0.141 - 0.909)(0.141 - (-0.757)) + 4 cdot (0 - 0.909)(0 - 0.141)(-0.757 - 0.909)(-0.757 - 0.141)

Passo 6

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. Primeiro termo:
2 cdot (-0.141)(0.757)(0.768)(1.666) = 2 cdot -0.1067371.280 = 2 cdot (-0.0833) = -0.1666
  1. Segundo termo:
3 cdot (-0.909)(0.757)(-0.768)(0.898) = 3 cdot -0.688293-0.689 = 3 cdot 0.9988 = 2.9964
  1. Terceiro termo:
4 cdot (-0.909)(-0.141)(-1.666)(-0.898) = 4 cdot 0.1280491.496 = 4 cdot 0.0856 = 0.3424

Passo 7

Agora, somamos os tr��s termos:
-0.1666 + 2.9964 + 0.3424 = 3.1722

Passo 8

Portanto, a estimativa para a raiz de f(x) usando interpolação inversa com 3 pontos é aproximadamente:

Resposta

A raiz de f(x) é aproximadamente x = 3.17.

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