Frequentemente acontece que valores tabelados de uma variável y dependente de uma variável são dados, e pretendemos achar o valor de da variável independente correspondente a um dado da variável dependente. Isto é conhecido como interpolação inversa. A partir da tabela:
determine a raiz de usando interpolação inversa sobre 3 pontos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a raiz da função usando interpolação inversa com 3 pontos da tabela fornecida. Ou seja, queremos descobrir o valor de que faz . Para isso, vamos usar a interpolação inversa, que basicamente nos ajuda a encontrar um valor de dado um valor de , aqui sendo .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a tabela e identificar quais três pontos vamos usar para a interpolação. A ideia é escolher pontos próximos onde muda de sinal, indicando que a raiz está entre eles. Observando a tabela:
Vemos que passa de positivo para negativo entre e . Então, vamos escolher os pontos , e para a interpolação inversa.

Passo 3

Agora, vamos preparar os dados para a interpolação inversa. Como queremos , vamos inverter a tabela para ter em função de . Nossos pontos selecionados são:

Passo 4

Vamos montar o polinômio de interpolação inversa usando a fórmula de Lagrange. A fórmula geral para três pontos é:
Onde:
  • ,
  • ,
  • ,

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:

Passo 6

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 7

Agora, somamos os tr��s termos:

Passo 8

Portanto, a estimativa para a raiz de usando interpolação inversa com 3 pontos é aproximadamente:

Resposta

A raiz de é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Calcule numericamente a integral
pelas regras do ponto médio, trapézio e Simpson variando o número de intervalos e 96 .
Considere a função dada pela tabela:
e o polinômio .
é o polinômio interpolador de nos pontos e 3 ? Justifique sua resposta.
Calcule o valor exato da integral
Aproxime o valor desta integral usando a regra de Simpson para e . Como você avalia a qualidade do resultado obtido? Por que isso acontece.
Considere a função tabelada abaixo.
0.1 0.2 0.4 0.6 0.7
0.905 0.819 0.673 0.549 0.490
Utilize a fórmula de Newton para obter uma aproximação para por meio de um polinômio interpolador de grau 2 .