Frequentemente acontece que valores tabelados de uma variável y dependente de uma variável
são dados, e pretendemos achar o valor de
da variável independente correspondente a um dado
da variável dependente. Isto é conhecido como interpolação inversa. A partir da tabela:
determine a raiz de
usando interpolação inversa sobre 3 pontos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a raiz da função
usando interpolação inversa com 3 pontos da tabela fornecida. Ou seja, queremos descobrir o valor de
que faz
. Para isso, vamos usar a interpolação inversa, que basicamente nos ajuda a encontrar um valor de
dado um valor de
, aqui sendo
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a tabela e identificar quais três pontos vamos usar para a interpolação. A ideia é escolher pontos próximos onde
muda de sinal, indicando que a raiz está entre eles. Observando a tabela:
Vemos que
passa de positivo para negativo entre
e
. Então, vamos escolher os pontos
,
e
para a interpolação inversa.
Passo 3
Agora, vamos preparar os dados para a interpolação inversa. Como queremos
, vamos inverter a tabela para ter
em função de
. Nossos pontos selecionados são:
Passo 4
Vamos montar o polinômio de interpolação inversa usando a fórmula de Lagrange. A fórmula geral para três pontos é:
Onde:
-
, -
, -
,
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 6
Vamos calcular cada termo separadamente:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 7
Agora, somamos os tr��s termos:
Passo 8
Portanto, a estimativa para a raiz de
usando interpolação inversa com 3 pontos é aproximadamente:
Resposta
A raiz de
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Calcule numericamente a integral
pelas regras do ponto médio, trapézio e Simpson variando o número de intervalos
e 96 .
Considere a função
dada pela tabela:
e o polinômio
.
é o polinômio interpolador de
nos pontos
e 3 ? Justifique sua resposta.
Calcule o valor exato da integral
Aproxime o valor desta integral usando a regra de Simpson para
e
. Como você avalia a qualidade do resultado obtido? Por que isso acontece.
Considere a função tabelada abaixo.
|
0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.7 |
---|---|---|---|---|---|
|
0.905 | 0.819 | 0.673 | 0.549 | 0.490 |
Utilize a fórmula de Newton para obter uma aproximação para
por meio de um polinômio interpolador de grau 2 .