Considerando a função
tabelada abaixo:
Utilize a fórmula de Lagrange para determinar o polinômio interpolador de
nestes pontos e obtenha uma aproximação para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Fórmula de Lagrange para encontrar um polinômio interpolador que passe pelos pontos dados da função
. Isso vai nos ajudar a aproximar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Fórmula de Lagrange. É uma maneira de construir um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos. A fórmula geral para três pontos é:
Aqui, temos três pontos:
,
e
. Vamos atribuir:
-
, -
, -
,
Agora, vamos montar cada parte do polinômio:
Então, o polinômio interpolador fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o polinômio
:
Vamos calcular cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Então, o polinômio simplificado é:
Passo 4
Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar
. Basta substituir
na expressão de
:
Calculando cada parte:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando tudo:
Resposta
A aproximação para
usando o polinômio interpolador de Lagrange é aproximadamente 4.267.
Exercícios relacionados
Dado o conjunto de pontos
. Encontre uma função linear usando o método dos mínimos quadrados que melhor se ajusta a esses pontos.
Considerando a função
tabelada abaixo:
Calcule um limitante superior para o erro.
Considere a função
dada pela tabela:
e o polinômio
.
é o polinômio interpolador de
nos pontos
e 3 ? Justifique sua resposta.
Calcule numericamente a integral
pelas regras do ponto médio, trapézio e Simpson variando o número de intervalos
e 96 .