Considerando a função tabelada abaixo:
Utilize a fórmula de Lagrange para determinar o polinômio interpolador de nestes pontos e obtenha uma aproximação para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Fórmula de Lagrange para encontrar um polinômio interpolador que passe pelos pontos dados da função . Isso vai nos ajudar a aproximar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Fórmula de Lagrange. É uma maneira de construir um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos. A fórmula geral para três pontos é:
Aqui, temos três pontos: , e . Vamos atribuir:
  • ,
  • ,
  • ,
Agora, vamos montar cada parte do polinômio:
Então, o polinômio interpolador fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o polinômio :
Vamos calcular cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Então, o polinômio simplificado é:

Passo 4

Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar . Basta substituir na expressão de :
Calculando cada parte:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Somando tudo:

Resposta

A aproximação para usando o polinômio interpolador de Lagrange é aproximadamente 4.267.

Exercícios relacionados

Dado o conjunto de pontos . Encontre uma função linear usando o método dos mínimos quadrados que melhor se ajusta a esses pontos.
Considerando a função tabelada abaixo:
Calcule um limitante superior para o erro.
Considere a função dada pela tabela:
e o polinômio .
é o polinômio interpolador de nos pontos e 3 ? Justifique sua resposta.
Calcule numericamente a integral
pelas regras do ponto médio, trapézio e Simpson variando o número de intervalos e 96 .