Diga se as séries são convergentes ou divergentes: (5 pts) sumn=1^infty (-6)^n n^4n! C

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries numéricas, especificamente o Teste da Razão, que é muito útil quando temos fatoriais e potências envolvidas. Vamos precisar entender como aplicar esse teste para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série L = limn to infty | an+1an | calculando o limite:
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. E se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos an = (-6)^n n^4n! :
an+1 = (-6)^n+1 (n+1)^4(n+1)!
Agora, vamos calcular | an+1an | = | (-6)^n+1 (n+1)^4 n!(n+1)! (-6)^n n^4 | = | -6 (n+1)^4(n+1) n^4 | = 6 (n+1)^4(n+1) n^4 = 6 (n+1)^3n^4 :
6 (n+1)^3n^4 = 6 ( n+1n )^3 cdot 1n = 6 (1 + 1n )^3 cdot 1n
Agora, montamos a razão :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 6 (1 + 1n )^3 cdot 1n = 6 cdot 1 cdot 0 = 0 tende ao infinito:
Como , segundo o Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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