Calcule a integral de linha do campo sobre a curva limitada acima pela curva e abaixo pela curva . (sentido de circulação é anti-horário).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é calcular a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva fechada. O campo vetorial dado é . A curva é limitada acima pela curva e abaixo por , e a circulação é no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região delimitada por de . Ou seja:

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando :
E calculando :

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
Portanto, a integral de linha se transforma em:
Isso significa que precisamos calcular a área da região .

Passo 6

Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas e :
Substituindo :
Então, (válido) e (inválido). Portanto, .

Passo 7

Agora, definimos os limites de integração:
A integral dupla para a área fica:

Passo 8

Vamos calcular a integral interna em :
Agora, a integral externa em :

Passo 9

Calculando a integral:
Avaliada de a :
Simplificando:

Passo 10

Lembrando que a integral dupla é igual à área multiplicada por -1:

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados

Considerando que todas as derivadas necessárias existam e seja contínuas, mostre que, se satisfizer a equação de Laplace então
para todas as curvas fechadas às quais o teorema de Green se aplica.
Calcule onde é uma curva fechada, por partes, simples, fronteira de um conjunto , cujo interior contém o círculo . (Sugestão: Aplicar o teorema de GREEN à região compreendida entre a curva e a circunferência).
Calcule as integrais
cosysen , onde é a união dos segmentos de retas e .
Calcule as integrais
, onde é a interseção de , com o plano ; o sentido do percurso é do ponto para .