Calcule a integral de linha do campo
sobre a curva
limitada acima pela curva
e abaixo pela curva
. (sentido de circulação é anti-horário).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é calcular a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva fechada. O campo vetorial dado é
. A curva
é limitada acima pela curva
e abaixo por
, e a circulação é no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
delimitada por
de
. Ou seja:
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Calculando
:
E calculando
:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
Portanto, a integral de linha se transforma em:
Isso significa que precisamos calcular a área da região
.
Passo 6
Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas
e
:
Substituindo
:
Então,
(válido) e
(inválido). Portanto,
.
Passo 7
Agora, definimos os limites de integração:
A integral dupla para a área
fica:
Passo 8
Vamos calcular a integral interna em
:
Agora, a integral externa em
:
Passo 9
Calculando a integral:
Avaliada de
a
:
Simplificando:
Passo 10
Lembrando que a integral dupla é igual à área multiplicada por -1:
Resposta
A integral de linha vale
.
Exercícios relacionados
Considerando que todas as derivadas necessárias existam e seja contínuas, mostre que, se
satisfizer a equação de Laplace
então
para todas as curvas
fechadas às quais o teorema de Green se aplica.
Calcule
onde
é uma curva fechada,
por partes, simples, fronteira de um conjunto
, cujo interior contém o círculo
. (Sugestão: Aplicar o teorema de GREEN à região
compreendida entre a curva
e a circunferência).
Calcule as integrais
cosysen
, onde
é a união dos segmentos de retas
e
.
Calcule as integrais
, onde
é a interseção de
, com o plano
; o sentido do percurso é do ponto
para
.