Calcule a ordenada
do centróide de um fio delgado em forma de uma semicircunferência
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um fio delgado em forma de semicircunferência definido pelas equações:
Queremos calcular a ordenada
do centróide desse fio. Centróide é o ponto que representa o “centro de massa” da figura, assumindo que o fio tem densidade uniforme. Para encontrar
, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à geometria da semicircunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as equações dadas. A equação
descreve uma circunferência no plano
com centro em
e raio
. Como
, estamos considerando apenas a semicircunferência superior.
Para simplificar a parametrização, vamos deslocar o sistema de coordenadas para que o centro da circunferência fique na origem. Vamos fazer isso substituindo
. Assim, a equação fica:
Agora, o centro está em
no plano
, e o raio continua sendo
.
Passo 3
O centróide
de uma curva no plano pode ser calculado usando as seguintes fórmulas:
onde
é o comprimento total da curva e
é um elemento infinitesimal de comprimento.
Para uma semicircunferência com raio
, o comprimento
é:
No nosso caso,
, então
.
Passo 4
Agora, precisamos parametrizar a semicircunferência. Vamos usar o ângulo
como parâmetro, variando de
a
para cobrir toda a semicircunferência.
As coordenadas paramétricas são:
Com
, temos:
O elemento de comprimento
para parametrização em termos de
é:
Passo 5
Vamos calcular
usando a fórmula do centróide:
Substituindo as expressões parametrizadas:
Simplificando:
Passo 6
Lembrando que fizemos um deslocamento no eixo
, onde
. Entretanto, como estamos interessados apenas na coordenada
do centróide, o deslocamento no eixo
não afeta o cálculo de
.
Portanto, o valor calculado para
é diretamente o
solicitado.
Resposta
A ordenada do centróide é: