Calcule a ordenada z0 do centróide de um fio delgado em forma de uma semicircunferência C :
{ (y - 2)² + z² = 4 ; z ≥ 0 x = 0 }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um fio delgado em forma de semicircunferência definido pelas equações:
{ (y - 2)² + z² = 4 ; z ≥ 0 x = 0 }
Queremos calcular a ordenada z0 do centróide desse fio. Centróide é o ponto que representa o “centro de massa” da figura, assumindo que o fio tem densidade uniforme. Para encontrar z0, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à geometria da semicircunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações dadas. A equação descreve uma circunferência no plano com centro em e raio . Como z ≥ 0, estamos considerando apenas a semicircunferência superior.
Para simplificar a parametrização, vamos deslocar o sistema de coordenadas para que o centro da circunferência fique na origem. Vamos fazer isso substituindo . Assim, a equação fica:
Agora, o centro está em (0,0) no plano , e o raio continua sendo .

Passo 3

O centróide de uma curva no plano pode ser calculado usando as seguintes fórmulas:
onde L é o comprimento total da curva e é um elemento infinitesimal de comprimento.
Para uma semicircunferência com raio R, o comprimento L é:
No nosso caso, , então .

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a semicircunferência. Vamos usar o ângulo theta como parâmetro, variando de 0 a pi para cobrir toda a semicircunferência.
As coordenadas paramétricas são:
Com , temos:
O elemento de comprimento para parametrização em termos de theta é:

Passo 5

Vamos calcular usando a fórmula do centróide:
Substituindo as expressões parametrizadas:
Simplificando:

Passo 6

Lembrando que fizemos um deslocamento no eixo y, onde . Entretanto, como estamos interessados apenas na coordenada z0 do centróide, o deslocamento no eixo y não afeta o cálculo de z0.
Portanto, o valor calculado para é diretamente o z0 solicitado.

Resposta

A ordenada do centróide é:

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