Verifique se os seguintes campos são conservativos e em caso afirmativo, encontre suas funções potenciais:
(10.1)
(10.1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, também temos que encontrar a função potencial desse campo. Isso está relacionado com o estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar verificar se o rotacional de
é zero e, se for o caso, integrar as componentes para encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se o rotacional de
for zero, ou seja, se:
Vamos calcular cada componente.
Passo 3
Calculando
e
:
Então, a primeira componente do rotacional é:
Passo 4
Calculando
e
:
Então, a segunda componente do rotacional é:
Passo 5
Calculando
e
:
Então, a terceira componente do rotacional é:
Passo 6
Agora, juntando as componentes do rotacional:
Para o campo ser conservativo, todas as componentes do rotacional precisam ser zero. Observamos que:
Como uma das componentes não é zero, concluímos que o campo
não é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo porque o rotacional de
não é igual a zero.