Verifique se os seguintes campos são conservativos e em caso afirmativo, encontre suas funções potenciais:
(10.1) F(x, y, z) = (2x + 4z, y - z, 3x - yz)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, também temos que encontrar a função potencial desse campo. Isso está relacionado com o estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar verificar se o rotacional de é zero e, se for o caso, integrar as componentes para encontrar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se o rotacional de for zero, ou seja, se:
Vamos calcular cada componente.

Passo 3

Calculando e :
Então, a primeira componente do rotacional é:

Passo 4

Calculando e :
Então, a segunda componente do rotacional é:

Passo 5

Calculando e :
Então, a terceira componente do rotacional é:

Passo 6

Agora, juntando as componentes do rotacional:
Para o campo ser conservativo, todas as componentes do rotacional precisam ser zero. Observamos que:
ãé
Como uma das componentes não é zero, concluímos que o campo não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo porque o rotacional de não é igual a zero.

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