Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto x = a adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
x y'' + y' = 0, y(1) = 2, y'(1) = 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar soluções em série em torno de um ponto adequado , determinar para quais valores de essa série converge e, se der, encontrar a soma da série de forma fechada. Para isso, vamos usar séries de potências e métodos de resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o ponto em torno do qual vamos expandir a série. Como as condições iniciais são dadas em , faz sentido escolher . Assim, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:
Vamos substituir por para facilitar os cálculos:
Agora, substituímos as séries:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Distribuindo :
Agora, ajustamos os índices para que todas as séries tenham a mesma potência de :

Passo 6

Para que a igualdade se mantenha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Então, igualamos os coeficientes:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Isolamos :
Essa é a relação de recorrência que nos permite calcular os coeficientes da série.

Passo 8

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes.
Sabemos que :
Então, .
Também sabemos que :
Então, .

Passo 9

Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os próximos coeficientes:
Para :
Para :
Para :
E assim por diante. Observamos um padrão na sequência dos coeficientes.

Passo 10

Vamos identificar o padrão geral dos coeficientes. Observando os coeficientes calculados:
Parece que os coeficientes alternam sinais e têm uma relação de divisão por potências de 2. Podemos conjecturar que:
Vamos verificar para :
Mas já sabemos que , então nossa suposição está errada. Vamos ajustar.
Observando melhor os coeficientes, vemos que a série pode ser decomposta em duas partes:
Uma constante e uma parte proporcional a . Vamos reescrever a solução geral:
Com e , e os demais coeficientes seguindo a relação de recorrência.

Passo 11

Para encontrar uma expressão fechada, observamos que a relação de recorrência sugere uma série geométrica. Vamos reescrever a série:
Notamos que os coeficientes além de e seguem um padrão de . Portanto, podemos expressar a série como:

Passo 12

Reconhecendo que a soma é uma série geométrica, lembramos que:
Aplicando isso à nossa série, temos:
Simplificando:

Passo 13

Portanto, a soma da série na forma fechada é:

Resposta

A solução em série da equação diferencial com condições iniciais e é dada por:
Essa série converge para todos os valores de exceto , onde ocorre uma descontinuidade na expressão fechada.

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Verifique se os seguintes campos são conservativos e em caso afirmativo, encontre suas funções potenciais:
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Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto x = a adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
x^2 y'' + x y' - y = 0, a = 2