Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
, com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é encontrar soluções em série em torno de um ponto adequado
, determinar para quais valores de
essa série converge e, se der, encontrar a soma da série de forma fechada. Para isso, vamos usar séries de potências e métodos de resolução de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher o ponto
em torno do qual vamos expandir a série. Como as condições iniciais são dadas em
, faz sentido escolher
. Assim, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Vamos substituir
por
para facilitar os cálculos:
Agora, substituímos as séries:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Distribuindo
:
Agora, ajustamos os índices para que todas as séries tenham a mesma potência de
:
Passo 6
Para que a igualdade se mantenha para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Então, igualamos os coeficientes:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Isolamos
:
Essa é a relação de recorrência que nos permite calcular os coeficientes da série.
Passo 8
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes.
Sabemos que
:
Então,
.
Também sabemos que
:
Então,
.
Passo 9
Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os próximos coeficientes:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante. Observamos um padrão na sequência dos coeficientes.
Passo 10
Vamos identificar o padrão geral dos coeficientes. Observando os coeficientes calculados:
Parece que os coeficientes alternam sinais e têm uma relação de divisão por potências de 2. Podemos conjecturar que:
Vamos verificar para
:
Mas já sabemos que
, então nossa suposição está errada. Vamos ajustar.
Observando melhor os coeficientes, vemos que a série pode ser decomposta em duas partes:
Uma constante e uma parte proporcional a
. Vamos reescrever a solução geral:
Com
e
, e os demais coeficientes seguindo a relação de recorrência.
Passo 11
Para encontrar uma expressão fechada, observamos que a relação de recorrência sugere uma série geométrica. Vamos reescrever a série:
Notamos que os coeficientes além de
e
seguem um padrão de
. Portanto, podemos expressar a série como:
Passo 12
Reconhecendo que a soma é uma série geométrica, lembramos que:
Aplicando isso à nossa série, temos:
Simplificando:
Passo 13
Portanto, a soma da série na forma fechada é:
Resposta
A solução em série da equação diferencial
com condições iniciais
e
é dada por:
Essa série converge para todos os valores de
exceto
, onde ocorre uma descontinuidade na expressão fechada.
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(10.1)
(10.1)
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:
Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.