Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não-nulos em uma expansão em série de potências da solução do problema de valor inicial dado.
y'' + x y' + e^x y = 0, y(0) = 0, y'(0) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema onde precisamos encontrar os quatro primeiros termos não-nulos de uma série de potências que resolve a equação diferencial dada. A equação é:
com as condições iniciais e .
Para resolver isso, vamos usar séries de potências, que nos permitem expressar a solução como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Precisaremos também manipular derivadas de séries e multiplicar séries entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :

Passo 3

Agora, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de :

Passo 4

Precisamos também expandir . Sabemos que a série de Taylor para é:
Multiplicando isso pela série de :
Vamos multiplicar termo a termo até :
Agrupando os termos por potência de :

Passo 5

Substituindo , e na equação diferencial :
Simplificando:

Passo 6

Para que a equação seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:
  1. Constante ( ):
  2. :
  3. :
  4. E assim por diante…

Passo 7

Aplicando as condições iniciais e :

Passo 8

Agora, vamos resolver as equações para encontrar os coeficientes:

Passo 9

Assim, os primeiros quatro termos não-nulos da série de potências são:

Resposta

Os quatro primeiros termos não-nulos da solução em série de potências são:

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