Encontre pelo menos os quatro primeiros termos não-nulos em uma expansão em série de potências da solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema onde precisamos encontrar os quatro primeiros termos não-nulos de uma série de potências que resolve a equação diferencial dada. A equação é:
com as condições iniciais
e
.
Para resolver isso, vamos usar séries de potências, que nos permitem expressar a solução
como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Precisaremos também manipular derivadas de séries e multiplicar séries entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 4
Precisamos também expandir
. Sabemos que a série de Taylor para
é:
Multiplicando isso pela série de
:
Vamos multiplicar termo a termo até
:
Agrupando os termos por potência de
:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação diferencial
:
Simplificando:
Passo 6
Para que a equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
- Constante (
): -
: -
: - E assim por diante…
Passo 7
Aplicando as condições iniciais
e
:
Passo 8
Agora, vamos resolver as equações para encontrar os coeficientes:
Passo 9
Assim, os primeiros quatro termos não-nulos da série de potências são:
Resposta
Os quatro primeiros termos não-nulos da solução em série de potências são: