Use o método discutido em Equações Homogêneas e resolva as equações abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A questão nos dá uma equação diferencial:
. O conteúdo que vamos usar é Equações Diferenciais Homogêneas. Para resolver isso, precisamos identificar se a equação é homogênea e, se for, aplicar uma substituição que simplifica a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se os termos do numerador e do denominador têm o mesmo grau. No caso,
e
ambos são de grau 2, então a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar a substituição
.
Passo 3
Vamos substituir
. Agora precisamos calcular
. Usando a regra do produto:
Substituindo na equação original:
Passo 4
Agora temos a equação:
Vamos isolar
:
Então:
Passo 5
Agora, separando as variáveis:
Vamos integrar os dois lados:
Passo 6
Para a integral do lado esquerdo, fazemos a substituição
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Do lado direito:
Passo 7
Juntando as integrais:
Multiplicando os dois lados por
:
Onde
, que ainda é uma constante.
Passo 8
Elevando ambos os lados como potência de
:
Onde
.
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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