Use o método discutido em Equações Homogêneas e resolva as equações abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A questão nos dá uma equação diferencial: . O conteúdo que vamos usar é Equações Diferenciais Homogêneas. Para resolver isso, precisamos identificar se a equação é homogênea e, se for, aplicar uma substituição que simplifica a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se os termos do numerador e do denominador têm o mesmo grau. No caso, e ambos são de grau 2, então a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar a substituição .

Passo 3

Vamos substituir . Agora precisamos calcular . Usando a regra do produto:
Substituindo na equação original:

Passo 4

Agora temos a equação:
Vamos isolar :
Então:

Passo 5

Agora, separando as variáveis:
Vamos integrar os dois lados:

Passo 6

Para a integral do lado esquerdo, fazemos a substituição , então , ou seja, . A integral fica:
Do lado direito:

Passo 7

Juntando as integrais:
Multiplicando os dois lados por :
Onde , que ainda é uma constante.

Passo 8

Elevando ambos os lados como potência de :
Onde .

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

O custo de produção de uma unidade de um certo modelo de aparelho depende do número de aparelhos produzidos e é dado, em reais por . Quantos aparelhos deverão ser produzidos para que o custo de produção, por aparelho, não ultrapasse 150 reais?
Use o método discutido em Equações Homogêneas e resolva as equações abaixo:
Calcule de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
Com o objetivo de auxiliar os maricultores a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a temperatura da água em Florianópolis, na região do sul da ilha. Represente, graficamente, as medições coletadas durante os três dias de estudo.