Use o método discutido em Equações Homogêneas e resolva as equações abaixo:
d y/d x = (x^2 - y^2)/(3 x y)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A questão nos dá uma equação diferencial: . O conteúdo que vamos usar é Equações Diferenciais Homogêneas. Para resolver isso, precisamos identificar se a equação é homogênea e, se for, aplicar uma substituição que simplifica a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se os termos do numerador e do denominador têm o mesmo grau. No caso, e ambos são de grau 2, então a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar a substituição .

Passo 3

Vamos substituir . Agora precisamos calcular . Usando a regra do produto:
Substituindo na equação original:

Passo 4

Agora temos a equação:
Vamos isolar :
Então:

Passo 5

Agora, separando as variáveis:
Vamos integrar os dois lados:

Passo 6

Para a integral do lado esquerdo, fazemos a substituição , então , ou seja, . A integral fica:
Do lado direito:

Passo 7

Juntando as integrais:
Multiplicando os dois lados por :
Onde , que ainda é uma constante.

Passo 8

Elevando ambos os lados como potência de :
Onde .

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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