Calcule partial fpartial u(x0, y0), sendo dados:
d) f(x, y)=x y,(x0, y0)=(1,1) e u o versor de imath+jmath

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional de no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional e o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função partial fpartial u(x0, y0) = nabla f(x0, y0) cdot uunitário em uma direção é dada pelo produto escalar do gradiente de nesse ponto com o vetor unitário na direção de . Ou seja:
á

Passo 3

Então, precisamos encontrar o gradiente de nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável:
partial fpartial x = y e partial fpartial y = x
Calculando as derivadas:

Passo 4

Agora, avaliamos o gradiente no ponto nabla f(1, 1) = (1, 1) :

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de |u| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 . Para isso, calculamos o módulo de uunitário = ( 1raiz2, 1raiz2 ) :
Então, o vetor unitário é:
á

Passo 6

Por fim, calculamos o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário:
partial fpartial u(1, 1) = (1, 1) cdot ( 1raiz2, 1raiz2 ) = 1raiz2 + 1raiz2 = 2raiz2 = raiz2

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

Exercícios relacionados

circledast Dado que uma equação vetorial de uma curva C é
sigma(t) = 2t i + (t^2 - 1) j
(a) Encontre o vetor tangente unitário, a curvatura e o raio de curvatura em t = 1.
(b) Faça um esboço de parte da curva, do vetor tangente unitário e da circunferência de curvatura em t = 1.
Seja z = x * e * (x^2 - y^2).
a) Calcule um valor aproximado para a variação Delta z emz, quando se passa de x = 1 e y = 1 para x = 1,01 e y = 1,002.
circledast Dada as equações paramétricas
x = 3 t^2 e y = 4 t^3
encontre y'(x) e y''(x) sem eliminar o parâmetro t.
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto ( x0, y0 ) dado.
a) f(x, y) = x sen(y) e (x0, y0) = (0, 0)