Calcule
, sendo dados:
d)
e
o versor de
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional e o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função
em uma direção
é dada pelo produto escalar do gradiente de
nesse ponto com o vetor unitário na direção de
. Ou seja:
Passo 3
Então, precisamos encontrar o gradiente de
. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de
. Para isso, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor unitário é:
Passo 6
Por fim, calculamos o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.
Exercícios relacionados
(a) Encontre o vetor tangente unitário, a curvatura e o raio de curvatura em
.
(b) Faça um esboço de parte da curva, do vetor tangente unitário e da circunferência de curvatura .
(b) Faça um esboço de parte da curva, do vetor tangente unitário e da circunferência de curvatura
Seja
.
a) Calcule um valor aproximado para a variação , quando se passa de
e
para
1,01 e
.
a) Calcule um valor aproximado para a variação
encontre
e
sem eliminar o parâmetro
.
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto (
) dado.
a) e
a)