Dado que uma equação vetorial de uma curva
é
(a) Encontre o vetor tangente unitário, a curvatura e o raio de curvatura em
.
(b) Faça um esboço de parte da curva, do vetor tangente unitário e da circunferência de curvatura
.
(b) Faça um esboço de parte da curva, do vetor tangente unitário e da circunferência de curvatura
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pela equação vetorial
. A parte (a) pede para encontrar o vetor tangente unitário, a curvatura e o raio de curvatura no ponto onde
.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores para achar o vetor tangente e as fórmulas de curvatura para determinar a curvatura e o raio de curvatura. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva. O vetor tangente é dado pela derivada da função posição
em relação a
.
Calculando a derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário. Para isso, precisamos normalizar o vetor tangente, ou seja, dividir o vetor tangente pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Então, o vetor tangente unitário
é:
Passo 4
Vamos agora encontrar a curvatura
da curva no ponto
. A fórmula da curvatura para uma curva vetorial é:
Primeiro, encontramos a segunda derivada de
:
Como estamos em duas dimensões, o produto vetorial simplifica para:
Agora, já sabemos que
. Então:
Substituindo
:
Passo 5
Por último, o raio de curvatura
é o inverso da curvatura:
Resposta
No ponto onde
:
- O vetor tangente unitário é
. - A curvatura é aproximadamente
. - O raio de curvatura é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Seja
.
a) Calcule um valor aproximado para a variação , quando se passa de
e
para
1,01 e
.
a) Calcule um valor aproximado para a variação
Encontre o vetor tangente unitário à curva tendo equação vetorial
no ponto onde
.
Calcule
, sendo dados:
d) e
o versor de
d)
encontre
e
sem eliminar o parâmetro
.