circledast Dada as equações paramétricas
x = 3 t^2 e y = 4 t^3
encontre y'(x) e y''(x) sem eliminar o parâmetro t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas equações paramétricas: e . A tarefa é encontrar as derivadas primeira ( ) e segunda ( ) de em relação a sem eliminar o parâmetro . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de derivadas paramétricas, que nos ajuda a relacionar as mudanças em e através de .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a . Essas derivadas nos dizem como e estão mudando conforme varia.
Calculando:

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , usamos a regra da cadeia que relaciona as derivadas em termos de :
Então, .

Passo 4

Para encontrar a segunda derivada, , precisamos derivar em relação a . Mas como está em termos de , usamos novamente a regra da cadeia:
Primeiro, derivamos em relação a :
Em seguida, dividimos essa derivada pela derivada de em relação a :
Então, .

Resposta

As derivadas solicitadas são:

Exercícios relacionados

Calcule partial fpartial u(x0, y0), sendo dados:
d) f(x, y)=x y,(x0, y0)=(1,1) e u o versor de imath+jmath
circledast Dado que uma equação vetorial de uma curva C é
sigma(t) = 2t i + (t^2 - 1) j
(a) Encontre o vetor tangente unitário, a curvatura e o raio de curvatura em t = 1.
(b) Faça um esboço de parte da curva, do vetor tangente unitário e da circunferência de curvatura em t = 1.
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto ( x0, y0 ) dado.
a) f(x, y) = x sen(y) e (x0, y0) = (0, 0)
As equações paramétricas para a trocoide são
x = a*t - b*sen(t) e y = a - b*cos(t)
Mostre que essa curva não tem reta tangente vertical se a > b > 0.