Dada as equações paramétricas
encontre
e
sem eliminar o parâmetro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas equações paramétricas:
e
. A tarefa é encontrar as derivadas primeira (
) e segunda (
) de
em relação a
sem eliminar o parâmetro
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de derivadas paramétricas, que nos ajuda a relacionar as mudanças em
e
através de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
. Essas derivadas nos dizem como
e
estão mudando conforme
varia.
Calculando:
Passo 3
Agora, para encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usamos a regra da cadeia que relaciona as derivadas em termos de
:
Então,
.
Passo 4
Para encontrar a segunda derivada,
, precisamos derivar
em relação a
. Mas como
está em termos de
, usamos novamente a regra da cadeia:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Em seguida, dividimos essa derivada pela derivada de
em relação a
:
Então,
.
Resposta
As derivadas solicitadas são:
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo dados:
d) e
o versor de
d)
(a) Encontre o vetor tangente unitário, a curvatura e o raio de curvatura em
.
(b) Faça um esboço de parte da curva, do vetor tangente unitário e da circunferência de curvatura .
(b) Faça um esboço de parte da curva, do vetor tangente unitário e da circunferência de curvatura
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto (
) dado.
a) e
a)
As equações paramétricas para a trocoide são
Mostre que essa curva não tem reta tangente vertical se
.