Calcule partial ppartial r se p=u^2 cos v w ; u=x y e^r s ; v=s ln x y r ; w=y s+r sen x

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função está definida como , e as funções , e são dadas em termos de outras variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação parcial, incluindo a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que estão envolvidas:
Como , para encontrar , precisamos derivar cada parte em relação a .

Passo 3

Vamos começar aplicando a regra do produto na expressão de partial ppartial r = partialpartial r ( u^2 cos(v) w ) . A derivada de partial ppartial r = ( 2u partial upartial r cos(v) w ) + ( u^2 ( -sin(v) partial vpartial r ) w ) + ( u^2 cos(v) partial wpartial r ) em relação a será:
Usando a regra do produto, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
  1. Para u = x y e^r s partial upartial r = x y s e^r s :
v = s ln(x y r) partial vpartial r = s ( 1x y r cdot x y ) = sr
  1. Para w = y s + r sin(x) partial wpartial r = sin(x) :
  1. Para :

Passo 5

Substituindo essas derivadas de volta na expressão de partial ppartial r = ( 2u cdot x y s e^r s cdot cos(v) cdot w ) + ( u^2 cdot (-sin(v)) cdot sr cdot w ) + ( u^2 cdot cos(v) cdot sin(x) ) :

Passo 6

Agora, podemos simplificar a expressão. Vamos substituir u = x y e^r s v = s ln(x y r) w = y s + r sin(x) , partial ppartial r = 2(x y e^r s) cdot x y s e^r s cdot cos(s ln(x y r)) cdot (y s + r sin(x)) + (x y e^r s)^2 cdot (-sin(s ln(x y r))) cdot sr cdot (y s + r sin(x)) + (x y e^r s)^2 cdot cos(s ln(x y r)) cdot sin(x) e pelas suas definições originais para tornar a expressão completa:
Substituindo esses valores na expressão:

Resposta

A derivada parcial de partial ppartial r = 2x^2 y^2 s e^2 r s cos( s ln(x y r) ) (y s + r sin(x)) - sr x^2 y^2 e^2 r s sin( s ln(x y r) ) (y s + r sin(x)) + x^2 y^2 e^2 r s cos( s ln(x y r) ) sin(x) em relação a é:

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