Em cada exercício a seguir determine as derivadas parciais em relação a x e a y, admitindo que z = f(x, y) :
a) 2*x*z^3 - 3*y*z^2 + x^2*y^2 + 4*z = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que relaciona , e , onde é uma função de e , ou seja, . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que nos ajuda a derivar funções que estão misturadas numa mesma equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação dada em relação a . A equação é:
Quando fazemos a derivação com respeito a , tratamos como constante e lembramos que é função de , então precisamos aplicar a regra da cadeia. Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de :
  2. Derivada de :
  3. Derivada de :
  4. Derivada de :
Juntando tudo, temos:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm :
Isolando :

Passo 3

Agora, vamos fazer a mesma coisa, mas derivando a equação em relação a . A equação continua sendo:
Derivando cada termo com respeito a :
  1. Derivada de :
  2. Derivada de :
  3. Derivada de :
  4. Derivada de :
Juntando tudo:
Agrupando os termos com :
Isolando :

Resposta

As derivadas parciais de são:
e

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