Em cada exercício a seguir determine as derivadas parciais em relação a
e a
, admitindo que
:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que relaciona
,
e
, onde
é uma função de
e
, ou seja,
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que nos ajuda a derivar funções que estão misturadas numa mesma equação.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação dada em relação a
. A equação é:
Quando fazemos a derivação com respeito a
, tratamos
como constante e lembramos que
é função de
, então precisamos aplicar a regra da cadeia. Vamos derivar cada termo:
-
Derivada de
: -
Derivada de
: -
Derivada de
: -
Derivada de
:
Juntando tudo, temos:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Isolando
:
Passo 3
Agora, vamos fazer a mesma coisa, mas derivando a equação em relação a
. A equação continua sendo:
Derivando cada termo com respeito a
:
-
Derivada de
: -
Derivada de
: -
Derivada de
: -
Derivada de
:
Juntando tudo:
Agrupando os termos com
:
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
e