A pressão
, o volume
e a temperatura
de um gás confinado relacionam-se pela equação
, onde
é uma constante. Se as taxas de variação de
e
são
e
, respectivamente, utilize a regra da cadeia para estabelecer uma fórmula para
. Verifique seu resultado aplicando a regra do produto para funções de uma variável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um gás com pressão
, volume
e temperatura
que estão relacionados pela equação
, onde
é uma constante. O exercício pede para a gente encontrar uma fórmula para a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, ou seja,
, usando a regra da cadeia. Depois, vamos verificar esse resultado aplicando a regra do produto para funções de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender de derivadas, especialmente da regra da cadeia e da regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a equação
em relação ao tempo
. Lembrando que
,
e
podem variar com o tempo. Ao fazer isso, usamos a regra da derivada para produtos, que nos diz como derivar a multiplicação de duas funções.
Então, derivando ambos os lados em relação ao tempo:
Como
é uma constante, a derivada do lado direito fica:
Agora, aplicando a regra do produto no lado esquerdo:
Passo 3
Agora, queremos isolar
. Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação por
:
Sabemos que
(da equação inicial
). Vamos substituir
na expressão:
Para simplificar essa fração, multiplicamos o numerador pelo inverso do denominador:
Agora, dividimos cada termo do numerador por
:
Simplificando as frações:
Então, chegamos à fórmula para
usando a regra da cadeia.
Passo 4
Agora, vamos verificar nosso resultado aplicando a regra do produto para funções de uma variável. Sabemos que
. Vamos escrever
em termos de
e
:
Ao diferenciar
em relação ao tempo usando a regra do produto:
Substituindo
por
:
E seguindo os mesmos passos que fizemos anteriormente, chegamos à mesma expressão:
Isso confirma que nossa fórmula para
está correta.
Resposta
A taxa de variação da temperatura em relação ao tempo é dada por: