A pressão p, o volume V e a temperatura T de um gás confinado relacionam-se pela equação p V = c T, onde c é uma constante. Se as taxas de variação de p e V são d p / d t e dV/dt, respectivamente, utilize a regra da cadeia para estabelecer uma fórmula para dT/dt. Verifique seu resultado aplicando a regra do produto para funções de uma variável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um gás com pressão p, volume V e temperatura T que estão relacionados pela equação , onde c é uma constante. O exercício pede para a gente encontrar uma fórmula para a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, ou seja, , usando a regra da cadeia. Depois, vamos verificar esse resultado aplicando a regra do produto para funções de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender de derivadas, especialmente da regra da cadeia e da regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a equação em relação ao tempo t. Lembrando que p, V e T podem variar com o tempo. Ao fazer isso, usamos a regra da derivada para produtos, que nos diz como derivar a multiplicação de duas funções.
Então, derivando ambos os lados em relação ao tempo:
Como c é uma constante, a derivada do lado direito fica:
Agora, aplicando a regra do produto no lado esquerdo:

Passo 3

Agora, queremos isolar . Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação por c:
Sabemos que (da equação inicial ). Vamos substituir c na expressão:
Para simplificar essa fração, multiplicamos o numerador pelo inverso do denominador:
Agora, dividimos cada termo do numerador por :
Simplificando as frações:
Então, chegamos à fórmula para usando a regra da cadeia.

Passo 4

Agora, vamos verificar nosso resultado aplicando a regra do produto para funções de uma variável. Sabemos que . Vamos escrever T em termos de p e V:
Ao diferenciar T em relação ao tempo usando a regra do produto:
Substituindo c por :
E seguindo os mesmos passos que fizemos anteriormente, chegamos à mesma expressão:
Isso confirma que nossa fórmula para está correta.

Resposta

A taxa de variação da temperatura em relação ao tempo é dada por:

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