Calcule partial zpartial u e partial zpartial v no ponto indicado
z=4 e^x ln y, x=ln (u cos v), y=u sin v ; (u, v)=(2, pi4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve derivadas parciais. A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica fundamental em cálculo para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
Aqui, depende de e , que por sua vez dependem de e . Para achar e , vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivadas de partial zpartial x = 4 e^x ln y em relação a partial zpartial y = 4 e^x cdot 1y e partial xpartial u = 1u cos v cdot cos v = 1u : partial xpartial v = 1u cos v cdot (-u sin v) = -tan v partial ypartial u = sin v
  2. Derivadas de partial ypartial v = u cos v e em relação a e :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u e partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v :

Passo 5

Vamos calcular cada termo no ponto x = ln(2 cos pi4) = ln(2 cdot raiz22) = ln(raiz2) = 12 ln 2 :
  1. Calculando y = 2 sin pi4 = 2 cdot raiz22 = raiz2 e partial zpartial x = 4 e^x ln y = 4 e^12 ln 2 ln raiz2 = 4 cdot raiz2 cdot 12 ln 2 = 2 raiz2 ln 2 :
    partial zpartial y = 4 e^x cdot 1y = 4 cdot raiz2 cdot 1raiz2 = 4
    partial xpartial u = 12
  2. Calculando partial xpartial v = -tan pi4 = -1 e partial ypartial u = sin pi4 = raiz22 :
    partial ypartial v = 2 cos pi4 = 2 cdot raiz22 = raiz2
  3. Calculando , , e :

Passo 6

Agora, substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:
partial zpartial u = (2 raiz2 ln 2) cdot 12 + 4 cdot raiz22 = raiz2 ln 2 + 2 raiz2 = raiz2 (ln 2 + 2)
partial zpartial v = (2 raiz2 ln 2) cdot (-1) + 4 cdot raiz2 = -2 raiz2 ln 2 + 4 raiz2 = raiz2 (4 - 2 ln 2)

Resposta

No ponto partial zpartial u = raiz2 (ln 2 + 2) , as derivadas parciais são:
partial zpartial v = raiz2 (4 - 2 ln 2)

Exercícios relacionados

Seja a um número real tal que a > e. Seja g a função, de domínio R^+, definida por g(x) = a x + ln x. Mostre que a função g tem, pelo menos, um zero no intervalo (1/a, 1/e).
Use a Regra da Cadeia para calcular d/z dt ou d w / d t no ponto indicado
w = x/z + y/z, x = cos^2(t), y = sen^2(t), z = 1/t ; t = 3
Considere que uma partícula de massa m se mova de tal forma que seu vetor posição é dado pela função vetorial r(t). Assuma também que a única força que age sobre tal partícula é o campo vetorial F. Nessas condições, a Segunda Lei de Newton nos dá
F(r(t))=m cdot r^prime prime(t)
Mostre que o trabalho realizado por tal força, W, é igual a variação da energia cinética; W=integralC F cdot d r= variação da energia cinética.
Sabemos que a área A(D) de uma região simples D pode ser obtida pela integral
A(D)=integral duplaD 1 d A
Sejam P(x, y)=-y2 e Q(x, y)=y2. Mostre que partial Qpartial x-partial Ppartial y=1.