Calcule
no ponto indicado
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve derivadas parciais. A gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica fundamental em cálculo para derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
Aqui,
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
. Para achar
e
, vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
- Derivadas de
em relação a e : - Derivadas de
e em relação a e :
Passo 4
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar
e
:
Passo 5
Vamos calcular cada termo no ponto
:
-
Calculando
e : -
Calculando
e : -
Calculando
, , e :
Passo 6
Agora, substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:
Resposta
No ponto
, as derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Seja
um número real tal que
. Seja
a função, de domínio
, definida por
. Mostre que a função
tem, pelo menos, um zero no intervalo
.
Use a Regra da Cadeia para calcular
ou
no ponto indicado
Considere que uma partícula de massa
se mova de tal forma que seu vetor posição é dado pela função vetorial
. Assuma também que a única força que age sobre tal partícula é o campo vetorial F. Nessas condições, a Segunda Lei de Newton nos dá
Mostre que o trabalho realizado por tal força,
, é igual a variação da energia cinética;
variação da energia cinética.
Sabemos que a área
de uma região simples
pode ser obtida pela integral
Sejam
e
. Mostre que
.