Sabemos que a área A(D) de uma região simples D pode ser obtida pela integral
A(D)=integral duplaD 1 d A
Sejam P(x, y)=-y2 e Q(x, y)=y2. Mostre que partial Qpartial x-partial Ppartial y=1.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que , onde e . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a , e depois subtrair uma da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial Qpartial x = 0 em relação a , ou seja, . Olhando para a função , percebemos que depende apenas de e não de . Quando uma função não depende de uma variável, a derivada em relação a essa variável é zero. Assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial Ppartial y = -12 em relação a , ou seja, . A função depende apenas de . A derivada de em relação a é simplesmente o coeficiente que multiplica , que neste caso é . Portanto:

Passo 4

Agora que temos partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - ( -12 ) = 12 e , vamos subtrair de :

Passo 5

No entanto, para que a igualdade partial Ppartial y = partialpartial y ( -y2 ) = -12 seja verdadeira, há uma necessidade de ajustar nossos cálculos. Observando novamente os cálculos, percebemos que houve um erro na interpretação do problema ou nas funções fornecidas. Vamos reavaliar as derivadas.
Recalculando partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - ( -12 ) = 12 :
Subtraindo novamente:
Parece que há uma inconsistência nos resultados, sugerindo que as funções podem ter sido interpretadas incorretamente ou que mais informações são necessárias.

Resposta

Após os cálculos realizados, verificamos que . Portanto, a igualdade dada não é satisfeita com as funções fornecidas.

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