Sabemos que a área
de uma região simples
pode ser obtida pela integral
Sejam
e
. Mostre que
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que
, onde
e
. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
, e depois subtrair uma da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Olhando para a função
, percebemos que
depende apenas de
e não de
. Quando uma função não depende de uma variável, a derivada em relação a essa variável é zero. Assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
depende apenas de
. A derivada de
em relação a
é simplesmente o coeficiente que multiplica
, que neste caso é
. Portanto:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos subtrair
de
:
Passo 5
No entanto, para que a igualdade
seja verdadeira, há uma necessidade de ajustar nossos cálculos. Observando novamente os cálculos, percebemos que houve um erro na interpretação do problema ou nas funções fornecidas. Vamos reavaliar as derivadas.
Recalculando
:
Subtraindo novamente:
Parece que há uma inconsistência nos resultados, sugerindo que as funções podem ter sido interpretadas incorretamente ou que mais informações são necessárias.
Resposta
Após os cálculos realizados, verificamos que
. Portanto, a igualdade dada não é satisfeita com as funções fornecidas.
Exercícios relacionados
Considere que uma partícula de massa
se mova de tal forma que seu vetor posição é dado pela função vetorial
. Assuma também que a única força que age sobre tal partícula é o campo vetorial F. Nessas condições, a Segunda Lei de Newton nos dá
Mostre que o trabalho realizado por tal força,
, é igual a variação da energia cinética;
variação da energia cinética.
Calcule
no ponto indicado
Determine o volume do sólido limitado pela superfície
e pelos planos
e
.
Dado:
Dado:
A altura de um cone circular reto está aumentando a uma taxa de
e o raio decrescendo a uma taxa de
. Ache a taxa de variação do volume no instante em que a altura é 200 cm e o raio é 60 cm .