Considere que uma partícula de massa
se mova de tal forma que seu vetor posição é dado pela função vetorial
. Assuma também que a única força que age sobre tal partícula é o campo vetorial F. Nessas condições, a Segunda Lei de Newton nos dá
Mostre que o trabalho realizado por tal força,
, é igual a variação da energia cinética;
variação da energia cinética.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula com massa
que se move de acordo com uma função vetorial
. A única força que age sobre ela é o campo
. A segunda lei de Newton nos diz que
. O objetivo é mostrar que o trabalho realizado por essa força, que é
, é igual à variação da energia cinética da partícula. Então, vamos precisar entender de cálculo vetorial e conceitos de energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho. O trabalho
realizado por uma força
ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
Aqui,
é um pequeno deslocamento na trajetória da partícula, e o ponto entre
e
indica o produto escalar, que basicamente multiplica as componentes das duas vetores na mesma direção.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é energia cinética. A energia cinética
de uma partícula é dada por:
onde
é a velocidade da partícula. Queremos mostrar que a diferença entre a energia cinética final e inicial (
) é igual ao trabalho realizado pela força
.
Passo 4
Vamos expressar a velocidade
como a derivada da posição em relação ao tempo:
Então, a energia cinética pode ser reescrita como:
Passo 5
Vamos calcular a variação da energia cinética
:
Passo 6
Agora, vamos relacionar a força
com a energia cinética. Sabemos que
. Vamos multiplicar ambos os lados por
:
Passo 7
Perceba que o lado direito da equação é a derivada da energia cinética em relação ao tempo. Vamos ver isso:
Então, temos:
Passo 8
Integramos ambos os lados em relação ao tempo, do instante inicial
ao final
:
O lado direito simplifica para:
Passo 9
Mas o lado esquerdo da equação é o trabalho realizado pela força
:
Portanto, temos que:
Resposta
O trabalho realizado pela força
é igual à variação da energia cinética da partícula, ou seja:
Exercícios relacionados
Calcule
no ponto indicado
Seja
um número real tal que
. Seja
a função, de domínio
, definida por
. Mostre que a função
tem, pelo menos, um zero no intervalo
.
Sabemos que a área
de uma região simples
pode ser obtida pela integral
Sejam
e
. Mostre que
.
Determine o volume do sólido limitado pela superfície
e pelos planos
e
.
Dado:
Dado: