Considere que uma partícula de massa m se mova de tal forma que seu vetor posição é dado pela função vetorial r(t). Assuma também que a única força que age sobre tal partícula é o campo vetorial F. Nessas condições, a Segunda Lei de Newton nos dá
F(r(t))=m cdot r^prime prime(t)
Mostre que o trabalho realizado por tal força, W, é igual a variação da energia cinética; W=integralC F cdot d r= variação da energia cinética.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula com massa m que se move de acordo com uma função vetorial r(t). A única força que age sobre ela é o campo F. A segunda lei de Newton nos diz que F = m cdot r^prime prime(t). O objetivo é mostrar que o trabalho realizado por essa força, que é integralC F cdot d r, é igual à variação da energia cinética da partícula. Então, vamos precisar entender de cálculo vetorial e conceitos de energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho. O trabalho W realizado por uma força F ao longo de um caminho C é dado pela integral de linha:
W = integralC F cdot dr
Aqui, dr é um pequeno deslocamento na trajetória da partícula, e o ponto entre F e dr indica o produto escalar, que basicamente multiplica as componentes das duas vetores na mesma direção.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é energia cinética. A energia cinética K de uma partícula é dada por:
K = 12 m v^2
onde v é a velocidade da partícula. Queremos mostrar que a diferença entre a energia cinética final e inicial ( De) é igual ao trabalho realizado pela força F.

Passo 4

Vamos expressar a velocidade v como a derivada da posição em relação ao tempo:
v = r^prime(t)
Então, a energia cinética pode ser reescrita como:
K = 12 m ( r^prime(t) )^2

Passo 5

Vamos calcular a variação da energia cinética De:
De

Passo 6

Agora, vamos relacionar a força F com a energia cinética. Sabemos que F = m cdot r^prime prime(t). Vamos multiplicar ambos os lados por r^prime(t):
F cdot r^prime(t) = m cdot r^prime prime(t) cdot r^prime(t)

Passo 7

Perceba que o lado direito da equação é a derivada da energia cinética em relação ao tempo. Vamos ver isso:
dKdt = ddt ( 12 m ( r^prime(t) )^2 ) = m cdot r^prime(t) cdot r^prime prime(t)
Então, temos:
F cdot r^prime(t) = dKdt

Passo 8

Integramos ambos os lados em relação ao tempo, do instante inicial ti ao final tf:
integralti^tf F cdot r^prime(t) , dt = integralti^tf dKdt , dt
O lado direito simplifica para:
De

Passo 9

Mas o lado esquerdo da equação é o trabalho realizado pela força F:
W = integralC F cdot dr
Portanto, temos que:
W = De

Resposta

O trabalho realizado pela força F é igual à variação da energia cinética da partícula, ou seja:
W = De

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