Calcule o perímetro do triângulo A B C cujos vértices sấo os pontos A=(raiz2, 152,-3), B=(2+raiz2, 32,-5), e C=(3+raiz2,-3, 23) ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o perímetro de um triângulo no espaço tridimensional. O que isso quer dizer é que, dado os três pontos que formam o triângulo, vamos descobrir a soma dos comprimentos dos seus lados. Para isso, vamos usar a fórmula da distância no espaço 3D, que nos ajuda a encontrar a distância entre dois pontos com coordenadas nesse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos pontos:
  • Ponto A:
  • Ponto B:
  • Ponto C:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço 3D. Se tivermos dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e , a distância entre eles é dada por:

Passo 4

Vamos calcular a distância entre os pontos A e B ( AB = raiz(2+raiz2 - raiz2)^2 + (32 - 152)^2 + (-5 - (-3))^2 ):
AB = raiz2^2 + (-6)^2 + (-2)^2 = raiz4 + 36 + 4 = raiz44 = 2raiz11
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância entre os pontos B e C ( BC = raiz(3+raiz2 - (2+raiz2))^2 + (-3 - 32)^2 + (23 - (-5))^2 ):
BC = raiz1^2 + (-92)^2 + (173)^2 = raiz1 + 814 + 2899
Simplificando:
BC = raiz3636 + 72936 + 115636 = raiz1912136 = raiz191216 = 138.36 approx 23.05
Para facilitar, vamos colocar tudo com denominador 36:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a distância entre os pontos C e A ( CA = raiz(raiz2 - (3+raiz2))^2 + (152 - (-3))^2 + (-3 - 23)^2 ):
CA = raiz(-3)^2 + (212)^2 + (-113)^2 = raiz9 + 4414 + 1219
Simplificando:
CA = raiz32436 + 396936 + 48436 = raiz477736 = raiz47776 approx 69.136 approx 11.52
Novamente, colocamos tudo com denominador 36:

Resposta

Somando as distâncias dos lados Perímetro = 2raiz11 + 23.05 + 11.52 approx 6.63 + 23.05 + 11.52 = 41.20 , e :
í
Então, o perímetro do triângulo é aproximadamente 41,20 unidades.

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