Decida se os vetores dados são linearmente dependentes ou independentes. ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa decidir se os vetores dados são linearmente dependentes ou independentes. Estamos trabalhando com álgebra linear, e para isso, vamos precisar entender o conceito de combinação linear e como verificar a independência ou dependência dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente ou dependente. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se implica que .
Se existir uma combinação não trivial (onde pelo menos um coeficiente não é zero) que resulta no vetor zero, então os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos escrever os vetores dados:
Queremos descobrir se existe uma combinação que não seja a trivial.
Passo 4
Vamos montar o sistema de equações correspondente à combinação linear igual a zero:
Agora, vamos resolver esse sistema para ver se existem soluções além de .
Passo 5
Vamos representar o sistema na forma de uma matriz aumentada e usar o método de eliminação de Gauss para simplificar:
Vamos realizar operações de linha para triangular a matriz.
Passo 6
Primeiro, vamos eliminar o 1 & 3 & 1 & | & 0 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & 10 & 10 & | & 0 0 & -5 & -5 & | & 0 das linhas 2, 3 e 4 usando a linha 1.
Linha 2:
Linha 3:
Linha 4:
Aplicando as operações:
Passo 7
Agora, vamos eliminar o 1 & 3 & 1 & | & 0 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0 das linhas 3 e 4 usando a linha 2.
Linha 3:
Linha 4:
Aplicando as operações:
Passo 8
Observamos que as duas últimas linhas ficaram todas zero. Isso significa que temos variáveis livres, indicando que existem infinitas soluções para o sistema, além da trivial única.