Calcule:
(7,0 pontos ) integral x+4x^2-3 x+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema envolve frações parciais, que é um método usado para simplificar integrais de funções racionais (ou seja, uma razão entre dois polinômios). Vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em partes mais simples para integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2). Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então:

Passo 3

Agora, reescrevemos a fração x+4(x - 1)(x - 2) = Ax - 1 + Bx - 2 usando frações parciais. Assumimos que pode ser dividida assim:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x + 4 = A(x - 2) + B(x - 1) para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos encontrar os valores de e . Para isso, escolhemos valores de que simplificam a equação.

Passo 5

Primeiro, substituímos 1 + 4 = A(1 - 2) + B(1 - 1) na equação:
5 = -A cdot 1 + B cdot 0
5 = -A
A = -5

Passo 6

Em seguida, substituímos 2 + 4 = A(2 - 2) + B(2 - 1):
6 = A cdot 0 + B cdot 1
6 = B
B = 6

Passo 7

Agora que temos x+4(x - 1)(x - 2) = -5x - 1 + 6x - 2 e , nossa decomposição fica:
Isso simplifica a integral para duas integrais mais fáceis de resolver.

Passo 8

Vamos então integrar cada termo separadamente:
integral -5x - 1 , dx + integral 6x - 2 , dx
A integral de é , então aplicamos isso a cada parte.

Passo 9

Calculando cada integral:
-5 integral 1x - 1 , dx = -5 ln|x - 1|
6 integral 1x - 2 , dx = 6 ln|x - 2|

Passo 10

Finalmente, juntamos as duas partes e adicionamos a constante de integração -5 ln|x - 1| + 6 ln|x - 2| + C:

Resposta

-5 ln|x - 1| + 6 ln|x - 2| + C

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