Calcule:
pontos

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema envolve frações parciais, que é um método usado para simplificar integrais de funções racionais (ou seja, uma razão entre dois polinômios). Vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em partes mais simples para integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então:

Passo 3

Agora, reescrevemos a fração usando frações parciais. Assumimos que pode ser dividida assim:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos encontrar os valores de e . Para isso, escolhemos valores de que simplificam a equação.

Passo 5

Primeiro, substituímos na equação:

Passo 6

Em seguida, substituímos :

Passo 7

Agora que temos e , nossa decomposição fica:
Isso simplifica a integral para duas integrais mais fáceis de resolver.

Passo 8

Vamos então integrar cada termo separadamente:
A integral de é , então aplicamos isso a cada parte.

Passo 9

Calculando cada integral:

Passo 10

Finalmente, juntamos as duas partes e adicionamos a constante de integração :

Resposta

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