Calcule:
pontos
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse problema envolve frações parciais, que é um método usado para simplificar integrais de funções racionais (ou seja, uma razão entre dois polinômios). Vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em partes mais simples para integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então:
Passo 3
Agora, reescrevemos a fração
usando frações parciais. Assumimos que pode ser dividida assim:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
. Para isso, escolhemos valores de
que simplificam a equação.
Passo 5
Primeiro, substituímos
na equação:
Passo 6
Em seguida, substituímos
:
Passo 7
Agora que temos
e
, nossa decomposição fica:
Isso simplifica a integral para duas integrais mais fáceis de resolver.
Passo 8
Vamos então integrar cada termo separadamente:
A integral de
é
, então aplicamos isso a cada parte.
Passo 9
Calculando cada integral:
Passo 10
Finalmente, juntamos as duas partes e adicionamos a constante de integração
:
Resposta
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e defina seus domínios.
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