Calcule:
(7,0 pontos ) integral0^1 3 x(x^2+3)^5 d x

Passo 1

Então, temos que calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 1. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente da técnica de substituição (ou mudança de variável). Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir. Observamos que u = x^2 + 3 está dentro da potência, então vamos chamar isso de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx , ou seja, :
Isso significa que:

Passo 4

Perceba que temos um x , dx = du2 na integral original, e do nosso , temos . Podemos reescrever em termos de :

Passo 5

Agora, substituímos integral0^1 3x(x^2 + 3)^5 , dx = 3 integralu(0)^u(1) u^5 cdot du2 e = 32 integralu(0)^u(1) u^5 , du na integral original:
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos determinar os novos limites de integração. Quando u(0) = (0)^2 + 3 = 3 :
u(1) = (1)^2 + 3 = 4
E quando 32 integral3^4 u^5 , du :
Então, nossa integral fica:

Passo 7

Vamos integrar integral u^5 , du = u^66 + C em relação a 32 [ u^66 ]3^4 = 312 [ u^6 ]3^4 = 14 [ u^6 ]3^4 :
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 8

Agora, substituímos os limites de integração:
14 (4^6 - 3^6)
Calculando as potências:
4^6 = 4096 e 3^6 = 729
Então:
14 (4096 - 729) = 14 times 3367 = 841,75

Resposta

O valor da integral é 841,75.

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