Calcule:
(7,0 pontos ) integral-1^1 x^5x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente uma integral definida entre -1 e 1. Para resolver isso, vamos analisar as propriedades da função que estamos integrando e usar um pouco de teoria sobre funções pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função dentro da integral: f(-x) = (-x)^5(-x)^2+1 = -x^5x^2+1 = -x^5x^2+1 = -f(x) . Queremos saber se essa função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
  • Função Par: Uma função é par se .
  • Função Ímpar: Uma função é ímpar se .
Vamos verificar:
Como , a função é ímpar.

Passo 3

Agora que sabemos que a função é ímpar, podemos aproveitar uma propriedade útil das integrais definidas:
Propriedade: A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em relação à origem, ou seja, de integral-a^a f(x) , dx = 0 se f(x) for ímpar a , é igual a zero.
Matematicamente:
í

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso:
integral-1^1 x^5x^2+1 , dx = 0
Porque a função é ímpar e o intervalo de integração é simétrico (-1 a 1).

Resposta

A integral vale 0.

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