Calcule os pontos de máximos de mínimos ou de inflexão: y = x + 1/x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos de máximos, mínimos ou de inflexão da função . Para isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da curva dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos diz a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função, ou seja, como a função está crescendo ou decrescendo naquele ponto.
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem ocorrer máximos ou mínimos), vamos igualar a primeira derivada a zero e resolver para :
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 4

Para descobrir se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão, precisamos analisar a segunda derivada da função. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função.
Vamos calcular a segunda derivada de :

Passo 5

Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos e :
Para :
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, ou seja, temos um mínimo local em .
Para :
Aqui, a segunda derivada é negativa, o que significa que a função é côncava para baixo, indicando um máximo local em .

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • Mínimo local em
  • Máximo local em

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