Calcule os pontos de máximos de mínimos ou de inflexão:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos de máximos, mínimos ou de inflexão da função
. Para isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da curva dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos diz a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função, ou seja, como a função está crescendo ou decrescendo naquele ponto.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem ocorrer máximos ou mínimos), vamos igualar a primeira derivada a zero e resolver para
:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 4
Para descobrir se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão, precisamos analisar a segunda derivada da função. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função.
Vamos calcular a segunda derivada de
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos
e
:
Para
:
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, ou seja, temos um mínimo local em
.
Para
:
Aqui, a segunda derivada é negativa, o que significa que a função é côncava para baixo, indicando um máximo local em
.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
- Mínimo local em
- Máximo local em