Encontre a solução geral pelo método da variação dos parâmetros (MVP):
© y''(t) + y'(t) - 2y(t) = e^(-2t)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo envolvido aqui é o método da variação dos parâmetros, que usamos para encontrar a solução geral de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, usar a variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação, obtemos a equação característica:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde , e :
Portanto, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea usando a variação dos parâmetros. A solução geral será então:

Passo 6

Para aplicar a variação dos parâmetros, assumimos que as constantes e são funções de :

Passo 7

Calculamos as derivadas de :

Passo 8

Para simplificar, impomos a condição:
Isso reduz as derivadas a:

Passo 9

Substituímos , e na equação original:
Simplificando:
Isso indica que precisamos reconsiderar os passos. Vamos voltar à equação considerando os termos restantes.

Passo 10

Voltando, temos:
Agora, podemos resolver esse sistema de equações para e .

Passo 11

Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:

Passo 12

Substituindo na primeira equação:

Passo 13

Agora, integramos e para encontrar e :
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração.

Passo 14

Assim, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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