Encontre a solução geral pelo método da variação dos parâmetros (MVP):
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo envolvido aqui é o método da variação dos parâmetros, que usamos para encontrar a solução geral de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, usar a variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
:
Portanto, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea usando a variação dos parâmetros. A solução geral será então:
Passo 6
Para aplicar a variação dos parâmetros, assumimos que as constantes
e
são funções de
:
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Passo 8
Para simplificar, impomos a condição:
Isso reduz as derivadas a:
Passo 9
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Isso indica que precisamos reconsiderar os passos. Vamos voltar à equação considerando os termos restantes.
Passo 10
Voltando, temos:
Agora, podemos resolver esse sistema de equações para
e
.
Passo 11
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Passo 12
Substituindo
na primeira equação:
Passo 13
Agora, integramos
e
para encontrar
e
:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração.
Passo 14
Assim, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: