Resolva os problemas de valores iniciais (PVIs):
(b) y'' + 6y'(t) + 9y(t) = 0, y(0) = 2, y'(0) = -5

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o problema de valores iniciais (PVI) abaixo:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e, em seguida, aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial:
Essa equação nos ajuda a determinar os valores de que são as raízes características da equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Onde , e .
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:

Passo 4

Com a raiz dupla , a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e são constantes que serão determinadas usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial :
Substituindo na solução geral:
Então, .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar . Para isso, vamos calcular a derivada de :
Aplicando a regra do produto:

Passo 7

Agora, aplicamos a segunda condição inicial :
Substituindo :
Sabemos que , então:

Resposta

A solução do problema de valores iniciais é:

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