Resolva os problemas de valores iniciais (PVIs):
(b)
(b)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o problema de valores iniciais (PVI) abaixo:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e, em seguida, aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial:
Essa equação nos ajuda a determinar os valores de
que são as raízes características da equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
Passo 4
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Substituindo
na solução geral:
Então,
.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
. Para isso, vamos calcular a derivada de
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 7
Agora, aplicamos a segunda condição inicial
:
Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução do problema de valores iniciais é: